[MPSI] Espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonjour, voici deux exercices que je ne parviens pas à résoudre :

1.
E un K-ev et u appartenant à L(E) avec u^n=Id_E (n non nul)
Soit V un sev stable par u et p un projecteur d'image V
On pose q = 1/n * sum(u^kopou^(n-k), k=1..n)
(o : composition)

a) Montrer que qou=uoq et que q est un projecteur
b) Montrer que qop = p
c)Montrer que Ker q est un supplémentaire de V stable par u

Je n'ai réussi à montrer que qou=uoq

2. Soit f appartenant à L(E) et a_1,a_2,...,a_n n scalaires 2 à 2
distincts (n >= 2)

Montrer que : si pour tout i de [|1,n|] F_i=Ker(f-a_iId)
alors la somme F_1 + F_2 +...+ F_n est directe

Je sais pas trop comment faire
J'ai bien essayé de montrer que F_i inter sum(Fj,idifférent de j) =
{0}mais je ne parviens pas à finir
J'ai aussi essayé de raisonner par l'absurde en supposant qu'il y avait
deux décompositions possibles pour un même élément de E.

Merci

[Anonyme]

Jean wrote:

> Bonjour, voici deux exercices que je ne parviens pas à résoudre :
>
> 1.
> E un K-ev et u appartenant à L(E) avec u^n=Id_E (n non nul)
> Soit V un sev stable par u et p un projecteur d'image V
> On pose q = 1/n * sum(u^kopou^(n-k), k=1..n)
> (o : composition)
>
> a) Montrer que qou=uoq et que q est un projecteur
> b) Montrer que qop = p
> c)Montrer que Ker q est un supplémentaire de V stable par u
>
> Je n'ai réussi à montrer que qou=uoq

Remplace q par sa valeur : c'est un "polynome" (en spe, tu enleveras les
guillements) en u. Tu profites de u^k°u=u°u^k.

> 2. Soit f appartenant à L(E) et a_1,a_2,...,a_n n scalaires 2 à 2
> distincts (n >= 2)
>
> Montrer que : si pour tout i de [|1,n|] F_i=Ker(f-a_iId)
> alors la somme F_1 + F_2 +...+ F_n est directe
>
> Je sais pas trop comment faire
> J'ai bien essayé de montrer que F_i inter sum(Fj,idifférent de j) =
> {0}mais je ne parviens pas à finir
> J'ai aussi essayé de raisonner par l'absurde en supposant qu'il y avait
> deux décompositions possibles pour un même élément de E.

Ecris 0=x_1+x_2+...+x_n, avec x_i dans F_i, et caracterise l'appartenance de
x_i a F_i en calculant f(x_i). Tu montres que cela entraine x_i=0 pour tout
i, et tu appliques un theoreme du cours.

> Merci

Yapadkoi.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

On Sun, 14 Nov 2004 19:14:48 +0100
Jean wrote:

> Bonjour, voici deux exercices que je ne parviens pas à résoudre :
>
> 1.
> E un K-ev et u appartenant à L(E) avec u^n=Id_E (n non nul)
> Soit V un sev stable par u et p un projecteur d'image V
> On pose q = 1/n * sum(u^kopou^(n-k), k=1..n)
> (o : composition)
>
> a) Montrer que qou=uoq et que q est un projecteur

Bon, j'ai juste essayé celle-là.

q est un projecteur q idempotente

Il faut donc m.q q^2=q

q^2 = (1/n^2) sum_j(u^j p u^(n-j)) sum_k(u^k p u^(n-k))
= (1/n^2) sum_j sum_k (u^j p u^(n-j+k) p u^(n-k))

p u^(n-k) E V (E appartient à)

comme V stable par u, u^(n-j+k) p u^(n-k) E V et donc
on peut virer le premier p, i.e.

p u^(n-j+k) p u^(n-k) = u^(n-j+k) p u^(n-k)

d'où

q^2 =(1/n^2) sum_j sum_k (u^(n+k) p u^(n-k))
=(1/n)sum_k (u^(n+k) p u^(n-k))

Il suffit alors d'utiliser u^n=Id => u^(n+k)=u^k

--
Yves Kuhry