[MPSI] Espaces vectoriels

[Euler07]

Coucou

Je suis en train enfin de faire des exercices sur les espaces vectoriels après avoir été découragé de la difficulté de ce chapitre enfin terminé :/



La correction met seulement "oui" pour le c) peut-on m'expliquer juste pour le premier comment on fait et je fais les autres...

[Vahngal]

Coucou

Je suis en train enfin de faire des exercices sur les espaces vectoriels après avoir été découragé de la difficulté de ce chapitre enfin terminé :/



La correction met seulement "oui" pour le c) peut-on m'expliquer juste pour le premier comment on fait et je fais les autres...

Déjà montrer que l'ensemble est non vide.

Puis vérifier la stabilité par combinaison linéaire : (x1,y1), (x2,y2) 2 couples appartenant à ton ensemble

(x1 + x2, y1 +y2) appartient t'il à ton ensemble ?

Pour tout a appartenant à R a * (x1,y1) = (ax1,ay1) appartient t'il a ton ensemble ?

[Euler07]

Non vide... Euh 0 est un élément de R² ? Faut justifié ?
Je ne comprends pas l'histoire de la combinaison linéaire...

[Vahngal]

Non vide... Euh 0 est un élément de R² ? Faut justifié ?
Je ne comprends pas l'histoire de la combinaison linéaire...

allez, je t'aide pour le 1er exemple :

a) Je note F ton ensemble...

(1,2) appartient-il à F ?

prenons (x1,y1) et (x2,y2) appartenant à F. Ils vérifient : et

que dire de
(x1+x2,y1+y2) appartient-il à F ?

Prenons a appartenant à R, a t'on toujours : (autrement dit a(x1,y1) appartenant à F)

Si ces 3 conditions sont remplies, F est un s.e.v de R². Si une des conditions n'est pas vérifiée, ce n'est pas un s.e.v de R²

[Zweig]

On appelle E l'ensemble de a). Pour que E soit un sous-espace de R^2 il faut et suffit qu'il suffit les 3 conditions suivantes :

i) E non vide

ii) E stable par addition

iii) E stable par multiplication par un scalaire.

Clairement (x,y)v=(0, 1) appartient à E car 0 < 1.

On se donne X = (x,y)€ E et X' = (x', y') € E. Alors X + X' = (x' + x, y + y') et cette somme € E ssi x + x' <= y + y'. Or par hypothèse, X € E, donc x <= y et X' € E, donc x' <= y', par somme, on obtient bien ce qu'il faut.

Maintenant si (x,y) € E, alors on doit avoir (ax, ay) € E pour tout réel a, càd ax <= ay, et ceci n'est vrai que si a est positif car par hypothèse x <= y, donc E n'estpas stable par multiplication par un scalaire (on doit avoir POUR TOUT a), ainsi E n'est pas un SEV

[Euler07]

Merci Vahngal et Zweig !! Là je comprends tout ! merci :)

[Nightmare]

Salut,

Tu as dû voir la définition d'un ev, à savoir qu'un ensemble (munit de deux lois, l'une interne et l'autre externe) est un espace vectoriel (sur un certain corps) s'il vérifie certaines propriété, à savoir principalement : non vide, contient 0 et stable par combinaison linéaire. Est-ce le cas de tes ensembles?

[Euler07]

Zweig parle de (0,1) alors que Vahngal de (0,0), pourquoi ?

[Vahngal]

Zweig parle de (0,1) alors que Vahngal de (0,0), pourquoi ?

Ma phrase portait à confusion... je l'ai effacé :lol3:

Le but étant de trouver qu'il existe un élément... (0,0) marche tout comme (0,1) ou (-2,5)

[Zweig]

On veut montrer que E n'est pas vide, càd qu'il existe au moins un couple (x,y) vérifiant x <= y. Suffit d'en exhiber un (bon ok, c'est bête comme chou piur cet ensemble E). J'aurai pu prendre (x,y) = (2010, 2011)

[Euler07]

Ah d'accord, c'est simple quoi !

[Nightmare]

Hello,

à noter que pour que nos ensembles soient des ev, il faut aussi par définition que ce soient des groupes additifs, ici sous-entendu par l'énoncé, pour l'addition usuelle. En particulier, un ev contient toujours 0... Donc le cas d) est réglé.

[Euler07]

Dit Zweig au lieu de montrer que E est stable par addition puis par multiplication, cela serait il pas simple et rapide de le montrer directement en une fois par combinaison linéaire ?

[Zweig]

Oui bien sûr !