[MPSI] Exercice dimension/polynôme/espaces vectoriels

[zelyan]

Bonjour!

J'ai eu un exercice "d'application" sur les dimensions, comportant des polynômes.
"

Démontrer que f est un isomorphisme.

K désigne

Premièrement, j'ai démontré que f est bien une application linéaire.
A savoir : Pour P,Q dans
On a :
Le prof a ensuite écrit : . Qu'est ce que cela a apporté de connaître la dimension des deux espaces vectoriels?

La preuve de la surjectivité est comprise. En revanche, pour l'injectivité :
n+1 racines
deg P
tout ça implique que P = 0 et donc f est injective.
Je suis d'accord que le(s) polynôme(s) (?) possède(nt) n+1 racines et que son degré soit strictement inférieur à n+1. Mais pourquoi ceci implique que P = 0 ? La lettre P m'embrouille comment une variable peut-elle être nulle dans une application si ce n'est que la fonction constante égale à 0?
Merci d'avance pour vos éclaircissements!

[Mimosa]

Bonjour

Il existe un théorème qui dit qu'une application linéaire entre deux espaces de même dimension est bijective si et seulement si elle est injective, ou si et seulement si elle est surjective. Donc si on sait que les deux espaces sont de même dimension, il suffit de vérifier seulement une des conditions de la bijectivité.
Mais ton prof, après avoir fait cette belle remarque ne s'en est pas servi! Peut-être s'est-il (elle) rendu compte que ce théorème n'a pas été démontré!

Un polynôme non nul qui admet les racines distinctes , est de degré supérieur à puisqu'il est divisible par .

[zelyan]

Merci pour cette réponse claire.
J'ai effectivement un théorème qui me dit :
Soient E et F deux K-ev de même dimension finie n, et f une application linéaire. Les propositions suivantes sont équivalentes :
i) f est un automorphisme
ii) f est injective
iii) f est surjective
iv) rg(f) = n

Il suffit alors que deux K-ev (E et F) aient la même dimension pour que les applications linéaires de E dans F soient toutes injectives, surjectives, automorphismes et dont le rang vaut n?
Si oui, alors il suffit simplement de dire que si ces deux K-ev possèdent la même dimension, alors f est un isomorphisme. Mais dans ce cas, pourquoi travailler les polynômes si cette simple information suffit?

[Mimosa]

C'est faux qu'entre espaces de même dimension TOUTES les applications linéaires sont des isomorphismes! Ne serait-ce que l'application nulle entre espaces de dimension strictement positive! Il faut vérifier une des deux conditions, en général l'injectivité, puisqu'il suffit de montrer que le noyau n'est pas réduit à

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour compléter, il suffit de dire que f(E) et F aient la même dimension pour dire que f est isomorphisme. Tu confonds peut-être. En effet, f(E) est inclus dans F, et s'ils ont la même dimension, alors f(E)=F, donc f est surjective, donc bijective.

[zelyan]

Merci d'avoir pris le temps pour me répondre Mimosa! En vous souhaitant une bonne soirée!

Bonsoir Pseuda, je vous avoue avoir énormément de mal avec ce chapitre sur les dimensions, je ne retrouve pas dans mon cours la propriété dont vous parlez. Parlez-vous du rang de f ?

[Ben314]

Salut,
Juste un truc concernant la remarque de Mimosa concernant la fait que le prof a "oublié" d'utiliser le théorème disant que, lorsque les espace de départ est d'arrivé d'une application linéaire F sont de même dimension, alors pour montrer que F est bijective, il suffit de montre qu'elle est injective OU BIEN de montrer qu'elle est surjective.
Ca peut éventuellement être (ça m'est souvent arrivé) pour des raisons pédagogique histoire de montrer que le théorème en question n'est souvent pas "totalement indispensable", mais qu'il permet de gagner beaucoup de temps dans la preuve.
Ca peut aussi permettre de montrer aux étudiants comment on fait pour montrer qu'une application est surjective vu que (comme le dit de nouveau Mimosa) dans un cas pareil, on se contente souvent de l'injectivité vu qu'elle est plus simple à démontrer et qu'elle est suffisante pour en déduire la bijectivité de l'application.

Sinon, concernant la notion de dimension, c'est une notion essentielle de l'algèbre linéaire et, dans un premier temps, ce qu'il faut principalement en retenir, c'est que dans presque tout les cas, elle permet de "diviser par deux" le travail à faire pour montrer un certain résultat :
- Pour montrer que f:E->F est bijective, normalement, on doit montrer qu'elle est injective ET qu'elle est surjective. Sauf que si f est une application linéaire et que E et F sont des e.v. (ou des s.e.v.) de même dimension, il suffit de montrer UN des deux (injectif ou surjectif) pour avoir les deux.
- Pour montrer que deux ensembles A et B sont égaux, normalement, il faut montrer que A est contenu dans B ET que B est contenu dans A. Sauf que, si A et B sont des e.v. (ou des s.e.v.) de même dimension, il suffit de montrer UNE des deux inclusion pour être sûr que l'autre est vraie.
- Pour montrer qu'une famille {V1,V2,...,Vn} est une base de l'espace vectoriel E normalement, il faut montrer qu'elle est libre ET qu'elle génératrice de E. Sauf que, si E est de dimension n (=nb. de vecteurs de la famille) il suffit de montrer UN des deux (libre OU générateur) pour être sûr que l'autre est vraie.

[Pseuda]

Bonsoir Pseuda, je vous avoue avoir énormément de mal avec ce chapitre sur les dimensions, je ne retrouve pas dans mon cours la propriété dont vous parlez. Parlez-vous du rang de f ?

Oui c'est ça. Le rang de f est la dimension de f(E) (= de Im f si tu préfères).

Comme f(E) est inclus dans F, si dim f(E) = dim F, alors f(E)=F. Ceci est vrai, comme vient de le dire Ben314, pour n'importe quels ss-ev : si le ss-ev A est inclus dans le ss-ev B, et que dim A = dim B, alors A = B.

Puis, comme f(E)=F, f est surjective. Ceci est vrai pour n'importe quelle application f, même non linéaire (tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent).

Puis, comme f est surjective d'un ev dans un autre de même dimension, alors f est bijective. Ceci est propre aux ev.