Espaces réflexifs

[Ouimet21]

Bonjour,

J'ai une question assez simple...

Si on a E un espace vectoriel topologique et on considère l'application naturelle \pi de E dans son bidual E**.

J'aimerais montrer que l'application inverse \pi^-1 est continue lorsqu'on considère les espaces sous la topologie forte, ie par exemple, dans E*, les ouverts sont de la forme:
U_{t,A}={f\inE* tel que |f(x)|
Ainsi, les autres topologies sont définies de façon tout à fait analogue.

J'ai montrer que \pi(U_{t,A}) est inclu dans un ouvert de E** qui a une forme semblable, alors possible que je pourrait trouver un autre ouvert tel que l'intersection donne ce que je veux, mais je ne le trouve pas...

merci de m'aider

[Arkhnor]

Bonsoir.

les ouverts sont de la forme:
U_{t,A}={f\inE* tel que |f(x)|<t ,x\inA et A borne}

C'est plutôt une base de voisinages de 0 que tu donnes là.

Sinon, il faut faire des hypothèses sur l'espace pour que l'application naturelle de dans son bidual soit injective. (il faut que le théorème de Hahn-Banach soit vérifié, donc une hypothèse de locale convexité suffit)

D'autre part, il me semble que l'assertion que tu essayes de prouver est fausse. Il existe des evts localement convexes tels que l'application naturelle soit surjective, sans que son inverse soit continu. (de tels espaces sont dits semi-réflexifs)

On doit pouvoir trouver des exemples dans le Bourbaki ou dans le Schaeffer. (il faut chercher du côté d'espaces qui ne sont pas tonnelés)

[Ouimet21]

Bonsoir.


C'est plutôt une base de voisinages de 0 que tu donnes là.

Sinon, il faut faire des hypothèses sur l'espace pour que l'application naturelle de dans son bidual soit injective. (il faut que le théorème de Hahn-Banach soit vérifié, donc une hypothèse de locale convexité suffit)

D'autre part, il me semble que l'assertion que tu essayes de prouver est fausse. Il existe des evts localement convexes tels que l'application naturelle soit surjective, sans que son inverse soit continu. (de tels espaces sont dits semi-réflexifs)

On doit pouvoir trouver des exemples dans le Bourbaki ou dans le Schaeffer. (il faut chercher du côté d'espaces qui ne sont pas tonnelés)

Oui, en effet, je voulais dire la topologie engendree par la base de voisinage en 0 que j'ai donne
On peut supposer aussi que l'espace E est localement convexe et de Hausdorff.

Pour ce qui est de l'affirmation, ca vient du livre de Kolmogorov, peut etre que cest mal dit dans le livre a cause de la traduction et qu<il voulait dire que l'inverse est continu des que l<espace est semi-reflexif, mais pas plus.

Alors, on peut le montrer si on suppose que E est localement convexe, de Hausdorff et semi-reflexif meme si certaine de ces hypotheses ne sont pas necessaires