Espaces réflexifs

[Ouimet21]

Bonjour,

J'aimerais prouver que tout sous-espace fermé d'un espace réflexif E est réflexif.

J'ai lu une preuve sur internet, mais je ne comprenais pas la démo.

On note \pi l'application naturelle de E dans E**.
Soit F un sous-espace fermé de E et soit \pi_F la restriction de \pi à F,
on veut \pi_F(F)=F**.

Merci.

[girdav]

Bonjour,
ce n'est pas un résultat trivial. Je crois qu'il faut utiliser le théorème de Banach-Alaoglu.

[Ouimet21]

Bonjour,
ce n'est pas un résultat trivial. Je crois qu'il faut utiliser le théorème de Banach-Alaoglu.

Il y a surement plusieurs façon de prouver un tel résultat, car cet exercice est proposé dans le livre de Kolmogorov (Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle) avant même de parler des théorèmes du graphes fermé, Banach-Steinhaus, Banach-Alaoglu,etc.

C'est vrai que certain des exercices de ce livre ne sont pas évidemment, mais j'aurais quand même espéré qu'il existe une preuve relativement simple étant donné que l'exercice apprait presque tout suite suivant la définition d'espace réflexif

EDIT: je viens de voir que le théorème de Banach-Alaoglu parle de topologie faible, or l'exercice est proposé juste avant le chapitre sur la topologie faible...

[ffpower]

Nope pas besoin de Banach alaoglu, en revanche je pense qu'on peut pas se passer de Hahn Banach (à moinjs qu'on puisse..^^): On prend U une forme linéaire sur F', elle induit naturellement une forme linéaire V sur E' définie par
V(f)=U(f restreint à F), elle est représentée par un élément x de E, de sorte que V(f)=f(x) pour tout f. On utilise alors Hahn Banach pour vérifier que x est dans F et que x représente U.

[girdav]

Nope pas besoin de Banach Alaoglu

En effet pas besoin de Banach-Alaoglu(en fait je voulais dire Goldstine), mais ça ne convient pas Ouimet21.

En tout cas je pense aussi qu'il sera dur de se passer de Hahn-Banach.

[Ouimet21]

Nope pas besoin de Banach alaoglu, en revanche je pense qu'on peut pas se passer de Hahn Banach (à moinjs qu'on puisse..^^): On prend U une forme linéaire sur F', elle induit naturellement une forme linéaire V sur E' définie par
V(f)=U(f restreint à F), elle est représentée par un élément x de E, de sorte que V(f)=f(x) pour tout f. On utilise alors Hahn Banach pour vérifier que x est dans F et que x représente U.

Oui avec le théorème de Hahn Banach cest bon

Mais justement, la preuve que j'avais lu utilisait ce résultat

Est-ce que tu peux faire la preuve explicitement?

[ffpower]

Le détail de la fin de la preuve:
Pour montrer que x est dans F: si ce n'était pas le cas, il existerait par Hanh Banach une forme linéaire f sur E, nulle sur F et valant 1 en x, on aurait alors
1=f(x)=V(f)=U(f restreint à F)=U(0)=0
absurde

Pour montrer que x représente U:
Si g est une forme linéaire sur F, on la prolonge par Hanh Banach en une forme linéaire f sur E, et on a alors
U(g)=U(f restreint à F)=V(f)=f(x)=g(x)
donc x représente U