Espace vectoriel

[samirou]

Bonsoir à tous, pouvez vous m'aider pour cet exo sur les espaces vectoriels

1°/ Énoncer clairement une condition nécessaire et suffisante pour que deux sous espaces vectoriels E1 et E2 soient supplémentaires dans E
2°/ Considérons le R-espace vectoriel R^3 et
E1={(x,y,z);)IR^3 ;) (x-y+z=0)}
E2={(x,y,z);)IR^3 ;) 2x-z=0 et 3x-y=0}
a) Montrer que E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels R^3
b) Vérifier que E1 et E2 sont supplémentaires dans R^3
c) Compléter une base de E2 en une base de R^3.

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir à tous, pouvez vous m'aider pour cet exo sur les espaces vectoriels

1°/ Énoncer clairement une condition nécessaire et suffisante pour que deux sous espaces vectoriels E1 et E2 soient supplémentaires dans E
2°/ Considérons le R-espace vectoriel R^3 et
E1={(x,y,z);)IR^3 (x-y+z=0)}
E2={(x,y,z);)IR^3 2x-z=0 et 3x-y=0}
a) Montrer que E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels R^3
b) Vérifier que E1 et E2 sont supplémentaires dans R^3
c) Compléter une base de E2 en une base de R^3.

Sais-tu déjà répondre à la question 1°/ ?

[samirou]

OUI la question 1°/ ne pose pas problème

[Archibald]

Bonsoir,

pour la 2.a), tu peux t'aider des équations caractérisant E1 et E2 pour montrer qu'il existe des familles de vecteurs qui les génèrent.

Pour la b, tu peux remarquer que l'équation caractérisant E1 est celle d'un hyperplan de ; que les 2 équations caractérisants E2 sont celle d'une droite vectorielle
Si ça ne te dit toujours rien, voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperplan

[samirou]

je comprends pas est ce que vous pouvez être explicite je suis débutant avec les espaces vectoriels. De plus pour montrer que E1 et E2 sont supplémentaires on doit montrer que leur intersection est (0, 0, 0) comment cela est-il possible ici

[chan79]

Bonsoir à tous, pouvez vous m'aider pour cet exo sur les espaces vectoriels

1°/ Énoncer clairement une condition nécessaire et suffisante pour que deux sous espaces vectoriels E1 et E2 soient supplémentaires dans E
2°/ Considérons le R-espace vectoriel R^3 et
E1={(x,y,z);)IR^3 (x-y+z=0)}
E2={(x,y,z);)IR^3 2x-z=0 et 3x-y=0}
a) Montrer que E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels R^3
b) Vérifier que E1 et E2 sont supplémentaires dans R^3
c) Compléter une base de E2 en une base de R^3.

Salut
Vérifie le texte
E2 est inclus dans E1

[samirou]

Le texte est libellé comme ceci dans le document original s'il y a erreur c'est au niveau du document original

[mrif]

E1 et E2 ne sont pas supplémentaires car E2 est inclus dans E1.
Si tu ne vois pas pourquoi, tu reviens.

Edit chan79 a donné la même réponse.
Tu peux considérer la mienne comme une confirmation.

[chan79]

Le texte est libellé comme ceci dans le document original s'il y a erreur c'est au niveau du document original

Au vu de la définition de E2, les coordonnées d'un vecteur de E2 sont de la forme (x,3x,2x)
Si on remplace dans l'équation de E1, cela donne 0=0
E2 est inclus dans E1

[samirou]

Je comprends donc mais comment traiter la question c)

[chan79]

Je comprends donc mais comment traiter la question c)

Impossible, il faut avoir le texte corrigé.