Espace Vectoriel Normé

[jeje56]

Bonsoir,

On note E l’ensemble des applications lipschitziennes de [0,1] dans R.

1). Ok : E SEV de C([0,1],R)

2). Pour f dans E, on pose : L(f) = sup [|f(x)-f(y)|/|x-y|]
L est une semi-norme : ok

3). Pour f dans E, on pose : N(f) = ||f|| + L(f) où ||.|| est la norme infinie :
N est une norme sur E : ok

4). L’application identité est-elle continue de (E,N) dans (C[0,1],||.||) ?
J'utilise la linéarité de Id :
N(f)=||f||+L(f) donc ||Id(f)||=||f||<=||f||+L(f)
(k=1 dans la déf de la continuité...)
Est-ce exact ?

5). Ok

6). Je ne vois pas trop comment faire... Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci bcp d’avance :-)

[ffpower]

La 4) est juste.La 6) me semble triviale

[jeje56]

Lol, dsl j'ai oublié de mettre la question... :hum:

MQ toute fonction de classe C1 sur [0,1] est lipschitzienne sur [0,1]

Merci !

[Lierre Aeripz]

Pour une fonction dérivable, la lipschitziannité équivaut au caractère borné de la dérivée. (Il faut le montrer bien sûr.) Vois-tu comment on conclut ?

[jeje56]

Merci pour ta réponse mais non dsl je ne vois pas...

Il faut prendre une fonction dont on suppose la dérivée bornée et montrer qu'elle est lipschitzienne ?

Merci

[Lierre Aeripz]

Oui ! Et ensuite tu montrera que la fonction qui t'intéresse est à dérivé bornée.

[jeje56]

Cela suppose sûrement que toute fonction dérivable sur [0,1] a sa dérivée bornée ?

[Lierre Aeripz]

Dérivable je l'ignore, mais continuement dérival, certainement.