Espace préhilbertien

[ZLM]

Bonjour, j'ai un souci avec la question 2 de cet exercice. Quelqu'un peut il m'aider ?
Exercice
Soit un espace vectoriel sur mini d'un produit scalaire
‹ . l . ›: × ---> .
On rappelle qu'une application linéaire de dans ( non nécessairement continue) est symétrique si pour tout .

1. Montrer que est symétrique si et seulement si , pour tout

2. On considère ici le cas l'espace des fonctions indéfiniment dérivables et a support compact de dans que l'on munit d'un produit scalaire de


Pour tout

Pour qu'elles valeurs de l'application linéaire


est-elle symétrique ?

[Ben314]

Salut,
Le 1. dit que l'application linéaire est symétrique ssi est réel pour toute application . Sauf que, si tu fait de multiples intégration par partie dans , ça donne . . .
(et il va y avoir deux cas de figure selon que k est pair ou impair)

P.S. Et normalement, l'usage est de dire que dans un espace hermitien X (i.e. un e.v. sur C muni d'une forme hermitienne définie positive), une application linéaire A:X->X telle que pour tout u de X, c'est un opérateur hermitien et pas un opérateur symétrique.
Et ça tient au fait que par exemple pour des matrices nxn à coeff dans C, ben ça peut être utile dans certain contexte un peu particulier d'utiliser des matrices symétriques (c.a.d.telle que ) et que ce n'est bien évidement pas la même chose que des matrices hermitiennes (c.a.d.telle que )

[ZLM]

Bonjour Ben314, un grand merci à vous pour l'explication. Encore merci.