Préhilbertien semi-normé

[WOLEJSZO]

Chers Amis
Un espace préhilbertien semi-normé peut-il être qualifié de hilbertien ?
Merci

[Ben314]

Salut,
Comme c'est uniquement une question de vocabulaire et pas vraiment une question de math., il faudrait un peu préciser les définitions que tu prend des différents mots employés.

En ce qui me concerne, un espace "préhilbertien", ça veut dire un E.V. réel (ou complexe) muni d'un produit scalaire (ou d'une forme hermitienne) donc forcément, c'est un E.V. normé et ça ne sert à rien de préciser qu'il est "semi-normé".
Ensuite, pour qu'un espace "préhilbertien" soit "hilbertien", il faut qu'il soit complet donc je vois pas quel rapport ça pourrait avoir avec l'existence d'une "semi norme".

Mais je le répète, c'est un problème de vocabulaire : par exemple, je sais pas si en Anglais les définition usuelle de Hilbertien (et éventuellement de "préhilbertien"), ç'est pas différent du Français ce qui fait que la question que tu pose pourrait éventuellement avoir du sens avec les définitions Anglaises des termes en question.

[WOLEJSZO]

Merci Ben
Ta réponse m’informe qu’un préhilbertien semi-normé peut être qualifié de hilbertien à condition de la complétude. Je vais m’en tenir là et j’en suis content.
Pour finir ce sujet, je voudrais savoir :
Une semi-norme permet-elle d'assurer la complétude ?
Sachant toutefois que (selon Wikipedia)
« Pour tout espace métrique M, il est possible de construire un espace métrique complet M’ qui contient M comme sous-espace dense. »
Jacek

[Ben314]

Quand tu as un espace préhilbertien E, tu as un produit scalaire donc une norme issue de ce produit scalaire.
L'espace E munie de cette norme peut être (ou ne pas être) complet, mais évidement de rajouter des structures (par exemple d'avoir une deuxième norme ou semi-norme) ça risque pas de changer quoi que ce soit au fait que E muni de la norme issue du produit scalaire soit complet.

Ensuite, il est effectivement il est toujours possible de compléter un espace métrique et, dans le cas d'un préhilberrtien, on conserve la structure de préhilbertien (i.e. il continue à y avoir un produit scalaire sur le completé). Mais de nouveau, ça a pas le moindre début de rapport avec le fait de rajouter une deuxième norme sur E.

[WOLEJSZO]

Cher Ben
Je crois avoir trouvé la réponse suivante à la question que j'ai posée :
Un espace semi-normé ne peut pas être complet, car la complétude ne concerne que les espaces métriques, or dans un espace semi-normé il manque précisément la condition ∥x∥⟹x=0 qui est nécessaire dans un espace métrique sous la forme suivante :
|x-y|=0 <=> x=y.
Es-tu d’accord ?

[Ben314]

Non, je ne suis absolument pas d'accord du tout...
Pour la simple est bonne raison (3em édition...) que, dans un espace préhilbretien E, tu as par définition un produit scalaire, que ce produit scalaire induit une vraie norme (et pas une semi-norme) et que le fait que E muni de cette vrai norme est ou pas complet n'a absolument rien à voir avec le fait d'avoir en plus de la norme de départ une deuxième semi norme.
Bref, que la semi norme que tu as ajoutée vérifie ou pas ||x||=0 => x=0, ben on en a absolument rien à f... vu que de toute façon, la norme issue du produit scalaire, elle elle vérifie forcément ||x||=0 => x=0.
Et même si c'était pas une semi norme, mais une vraie norme que tu rajoutais dans la structure et que, muni de cette deuxième norme, l'espace E était complet, ben ça en ferait pas pour autant un espace Hilbertien vu que, par définition pour que E soit hilbertien, il faut qu'il soit complet pour la norme issue du produit scalaire.

[Ben314]

Ta réponse m’informe qu’un préhilbertien semi-normé peut être qualifié de hilbertien à condition de la complétude.

Visiblement, tu lit tout de travers...
Moi, ce que je t'ai dit, c'est que lorsqu'on a un espace préhilbertien, pour qu'il soit hilbertien, il faut qu'il soit complet lorsqu'on le muni de la norme induite par le produit scalaire.
Et donc que ça n'avait pas le début du moindre rapport avec le fait de le munir en plus de la norme issue du produit scalaire d'une éventuelle deuxième semi-norme.

Tout ton laïus est du même type que si tu demandais si une voiture jaune (en insistant fortement sur le coté jaune de la voiture) va vite ou pas. Et la réponse, ben c'est que la couleur de la bagnole, ben ça a rien à voir avec sa vitesse.

[WOLEJSZO]

Cher Ben
Je suppose que je me suis trompé dans ma dernière affirmation.
Maintenant je pense qu’un espace semi-normé ||∙|| peut être complet.
Il suffit de trouver une définition de la distance |x, y| pour que l’affirmation suivante soit vraie :
|x, y| = ||A(x,y)|| = 0 <=> x=y.
Je n’ai pas (encore) trouvé d’exemple, mais j’espère qu’il existe.
Merci, et excuse pour mes questions bêtes.
Jacek