Espace de hilbert 2

[mona123]

bonjour pouvez vous me corriger ma reponse pour la question suivante:
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?

reponse non
contre exemple
Prenons ;)2 par exemple, c'est à dire les séquences de carré sommable de nombres complexes avec le produit intérieur
;)x, Y;) = ;)n = 1;)xnyn¯¯¯¯¯
Cela a la base orthonormale dénombrable
{(1,0,0, ...), (0,1,0, ...), (0,0,1,0, ...), ...}.
comme
;)n = 1;)2-n = 1 <;)
nous avons
(2-1,2-2,2-3, ...) ;);)2
et il est clair que cet élément ne peut être écrit comme une combinaison linéaire finie des éléments de base.

[zygomatique]

2 - 1 = 1

2 - 2 = 0

2 - 3 = -1

... et ensuite ?

[mona123]

2 - 1 = 1

2 - 2 = 0

2 - 3 = -1

... et ensuite ?

non je veut dire
2 a la puissance -2
2 a la puissance -3
...

[zygomatique]

entre ce que tu veux dire et ce que tu écris il y a une sacré différence !!!

une telle confusion n'est guère admissible quand on travaille à ton niveau .... et dénote un manque de rigueur ....


quelle est alors ton problème ?

pourquoi tout élément d'un espace de Hilbert devrait-il s'écrire comme combinaison linéaire finie (d'une base) ?

un énoncé complet et précis de la situation permettrait de mieux comprendre quel est ton problème ...


ce que l'on sait par contre c'est que pour tout il existe une combinaison linéaire finie telle que

[mona123]

entre ce que tu veux dire et ce que tu écris il y a une sacré différence !!!

une telle confusion n'est guère admissible quand on travaille à ton niveau .... et dénote un manque de rigueur ....


quelle est alors ton problème ?

pourquoi tout élément d'un espace de Hilbert devrait-il s'écrire comme combinaison linéaire finie (d'une base) ?

un énoncé complet et précis de la situation permettrait de mieux comprendre quel est ton problème ...


ce que l'on sait par contre c'est que pour tout il existe une combinaison linéaire finie telle que

en effet je sais pas comment tapper les symbole mathematique dans le forum.
mon problem est :
1)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K H.)


2)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?
j'ai pu repondre a la premiere question en utilisant le lemme de riesz
mais je n'est pas pu repondre a la deusiemme question .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

[mathelot]

en utilisant le lemme de Riesz

..............

[SLA]

en effet je sais pas comment tapper les symbole mathematique dans le forum.
mon problem est :
1)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K H.)

Ce que tu décris est une base hilbertienne, pas une base.

2)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?
j'ai pu repondre a la premiere question en utilisant le lemme de riesz
mais je n'est pas pu repondre a la deusiemme question .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

Une base, ça a un sens dans n'importe quel espace vectoriel (même pas normé). C'est une famille libre et génératrice. Génératrice ça veut dire que tout élément de l'espace est combinaison linéaire finie d'éléments de la base.

Une base hilbertienne est libre (car orthonomale) mais elle n'est génératrice qu'en dimension finie.
Pour ta première question, tu peux montrer qu'on peut supposer que le compact K est une boule fermée et centrée en 0.

Au besoin, n'hésite pas à revenir poser des questions.
Bon courage