Espace de hilbert

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ;) H.)
merci en avance

[mathelot]

Si H est de dimension finie, il est isomorphe à ou
et les boules fermées sont compactes.
Donc 0 admet un voisinage compact.

[mathelot]

Supposons que H ne soit pas de dimension finie.
soit une base de H.

i)
ii) (e_i) n'admet pas de sous suite convergente car
ce qui nie le critère de Cauchy.

La boule fermée B(0;1) n'est donc pas compacte,
d'après Bolzano-Weiertrass.

Par homothétie , les boules fermées ne sont pas compactes.

Soit K un voisinage de 0, compact.

Prop: Un fermé inclus dans un compact est compact.

Donc K ne peut contenir de boules fermées de rayon r>0.

contradiction (pour un voisinage).

donc en dimension infini, 0 n'admet pas de voisinage compact.

sauf erreur