Espace de Hilbert

[tenji68]

Bonjour lundi j'ai un exposer à faire sur david hilbert
5 min de biographie
5 min sur un de ces concept
Donc j'ai pris son concept mathematique d'espace de hilbert mais je ne comprend pas tous donc voila ce que j'ai ecrit un espace de hilbert est une espace préhilbertien dont la norme est associer a une espace complet (ici je comprend pas la definiton espace complet malgre les definitions que j'ai lu)
c'est a dire une espace de hilbert est une espace vectoriel muni d'un produit scalaire de plus l'espere de hilbert est complet ce qui permet appliquer les technique d'analyser mathematique.(la notion de les technique d'analyser mathematique est tres vague pour moi).l'espace de hilbert generalise la notion des espaces euclidiens ,il permet d'etendre les methodes de l'algebre lineaire ( comment sa etendre ? ) et de l'analyse des esapces eucliendeen classique a des espace de dimension quelconque fini ou infini.
De plus une demonstration du concept est demander or le probleme c'est que j'ien ai vu plein des demonstration surtout celui de wikipediam ais je comprend pas a quoi sa sert d'utiliser une espace de hilbert et je comprend pas les demonstrations
svp aider moi

[eriadrim]

Salut

Pour comprendre la notion d'Espace d'Hilbert il faut comprendre ce qu'est une suite de Cauchy (les suites de Cauchy sont des éléments d'analyse) :
On dit qu'une suite vérifie le critère de Cauchy ou est de Cauchy si :



Visuellement ceci veut dire que les termes de la suite deviennent très proches entre eux à partir d'un certain rang.
La particularité des suites de Cauchy c'est que converge implique de Cauchy mais la réciproque est fausse

Du coup on définit les espaces complets :
Un espace est dit complet si toute les suites de Cauchy de cet espace converge dans cet espace.
Le détail "dans l'espace" est très important. Avec ca on montre que est complet mais pas .
Un exemple classique pour s'en convaincre est de prendre qui n'appartient pas à et de considerer la suite qui correspond à l'écriture décimale de jusqu'à la n-ième décimale :
-
-
...
On montre facilement que est une suite de Cauchy de seulement ne converge pas dans .

Donc avec les espaces complets, on obtient un moyen de prouver la convergence des suites plus "simple". Et justement en analyse, il existe beaucoup de résultat sur les suites de Cauchy que l'on peut étendre à la convergence parce que l'espace est complet.
Or la convergence est très importante, elle est la base des limites de fonctions, continuité, dérivabilité ... On voit donc la l'utilité des espaces complets.

D'une autre manière, les espaces euclidiens sont aussi très sympathiques, la norme euclidienne possède des propriétés que n'importe quel norme ne possède pas, par exemple l'égalité des parallélogramme ou encore le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.

De ce fait un espace de Hilbert qui est à la fois euclidien et complet permet d'avoir des très bonnes propriété de topologie et d'algèbre linéaire (grâce à euclidien), et d'analyse (suite de Cauchy)

Je sais pas si j'ai été très clair :p Si tu as d'autres questions n'hésite pas

[Ben314]

Salut,
Un mini rajout, pour peut être éclairer un peu plus la notion de suite de Cauchy :
- L'énorme inconvénient de la définition usuelle d'une "suite convergente" c'est que, pour montrer qu'une suite est convergente, ben il faut connaitre sa limite.
- Donc, par exemple, pour les suites réelles (je pense que tu les as vu), un théorème très très puissant est celui qui dit que "toute suite croissante et majorée est convergente" vu qu'il permet de montrer qu'une suite est convergente sans en connaitre la limite (*).
- Le problème, c'est que dans des espaces autres que R, ne serait ce que R² par exemple, il n'y a plus de relation d'ordre aussi "naturelle" que dans R (est ce que (2,5) est "inférieur" à (3,4) ?) alors qu'on aimerais avoir un théorème permettant de montrer qu'une suite est convergente sans connaitre sa limite.
- C'est là qu'apparait la notion de "suite de Cauchy" : pour voir si une suite est (ou pas) de Cauchy, il n'est pas utile de connaitre son éventuelle limite (c.f. la définition donné par eriadrim) donc dans pas mal de cas "théoriques", on arrive a montrer qu'une suite est de Cauchy alors qu'on ne sait vraiment pas vers quoi elle converge. Si on est dans un espace "complet" (i.e. tel que toutes les suites de Cauchy soient convergentes), c'est bon.

(*) En fait ce fameux théorème "toute suite croissante et majorée est convergente" dit, a peut de chose près, que R est "complet", mais il est plus simple à énoncer (et à utiliser).