Espace de Hilbert

[Anonyme]

Bonjour ,
Je recherche la preuve de ce resultat
Soit H un espace de Hilbert
Si H a une base denombrable alors l espace H est separable
Merci

[yos]

Si H a une base denombrable alors l espace H est separable

Bonjour.
Quelle est ta définition de la séparabilité?

[abcd22]

Bonjour, on peut montrer que l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Q de vecteurs de la base est dense dans H (et c'est un ensemble dénombrable).

[quinto]

Bonjour,
note quand même que c'est vrai pour la base hilbertienne, pas pour la base algèbrique.
Comme le dit abcd c'est une conséquence de la séparabilité de R.
A+

[yos]

Apparemment, il s'agit d'une base algébrique B dénombrable, en conséquence l'ensemble des comb. lin. finies à coef ds Q d'éléments de B est dénombrable et dense dans H (comme le dit abcd22).

Si on parle d'une base hilbertieznne dense, ça doit marcher aussi pour la même raison qu'une partie de Q dense dans Q est aussi dense dans R.

[abcd22]

Pour moi une combinaison linéaire c'est toujours fini, par définition.

[quinto]

Apparemment, il s'agit d'une base algébrique B dénombrable

Ce n'est pas possible dans un Hilbert (ou même dans un Banach...)

[yos]

Tu as raison bien sûr.
Un espace dénombrable ne saurait être complet sauf cas triviaux.