Espace de Hilbert

[lisonn]

Bonjour,

Pour démontrer qu'une suite orthornormée de H (espace de Hilbert) converge faiblement vers 0, on utilise l'inégalité de Bessel : pour affirmer que cette série est convergente donc tend vers 0 donc converge faiblement vers 0.

Il y a 2 passages qui me gênent :
1) on dit que la série est convergente mais il faut s'assurer que non?

2) si alors ? Ca ne me parait pas évident...

[girdav]

1) Une norme est une application de à valeurs dans .
2) On peut conclure à la convergence faible de la suite car est arbitraire.

[lisonn]

Ah oui bien sûr, merci j'y vois un peu plus clair.

Tant que j'y suis, je reste sur le même fil pour soumettre mes autres questions.
Soient Cn est une suite croissante de convexes fermés non vides et C l'adhérence de leur réunion. Je veux démontrer que lim d(x,Cn) = d(x,C).

J'ai la correction mais certains passages sont flous :
On a d'abord puisque Cn C C (Cn inclu ds C) alors d(x,C) <= d(x,Cn), j ai du mal a voir cette implication, j'ai l'impression que si Cn inclu ds C alors les distances seront égales.....
Ensuite, on évoque a plusieurs reprises , ce n'est rien d'autre que Cn non?
Enfin, une fois qu'on a établit que lim d(x,Cn) = d(x,C), peut on directement dire que lim P_Cn (x) = P_C (x) (où P_C désigne la projection de X sur C).
Pour moi, d(x,C) = P_C (x).


Merci d'avance

[girdav]

En fait la distance d'un point à un ensemble est définie par un , et si et sont deux parties de telles que alors .

[Ben314]

Salut :

On a d'abord puisque Cn C C (Cn inclu ds C) alors d(x,C) oo, ben évidement, L ne dépend pas de n !!!)

Enfin, une fois qu'on a établit que lim d(x,Cn) = d(x,C), peut on directement dire que lim P_Cn (x) = P_C (x) (où P_C désigne la projection de X sur C).
Pour moi, d(x,C) = P_C (x).

Non, il n'est pas évident du tout que "lim d(x,Cn) = d(x,C) => lim P_Cn (x) = P_C (x)" : Il faut le prouver !!!
Quand à "d(x,C) = P_C (x)", c'est... totalement absurde, vu que d(x,C) est une distance, c'est à dire un réel (positif) alors que P_C (x) est le projeté de x sur C, c'est donc un "point", c'est à dire un élément de l'espace H.

[lisonn]

(Aprés avoir fait ce dessin, essaye de voir quelle preuve d'une ligne permet de démontrer le résultat)

Ok je vois, en fait maintenant ca me parait tellement évident que je vois même pas comment le démontrer :
en reprenant les notations, puisque D1 C D2, pour Y1 dans D1 et Y2 dans D2, ||M-Y1|| <= ||M-Y2||. Ensuite on passe à l'inf.... j'vois pas comment faire autrement.

Non, cela désigne la réunion de tout les ensembles Cn

Alors là, il y a quelque chose qui m'échappe.....si C1 c C2, on a bien C1 U C2 = C2? La j ai une suite croissante de convexes, ca signifie C1 c C2 c.......c Cn.

Quand à "d(x,C) = P_C (x)", c'est... totalement absurde, vu que d(x,C) est une distance, c'est à dire un réel (positif) alors que P_C (x) est le projeté de x sur C, c'est donc un "point", c'est à dire un élément de l'espace H.

Oui c'est en effet absurde, je pensais plutôt à d(x,C) = ||P_C (x)||?

[Ben314]

Ok je vois, en fait maintenant ca me parait tellement évident que je vois même pas comment le démontrer :
en reprenant les notations, puisque D1 C D2, pour Y1 dans D1 et Y2 dans D2, ||M-Y1|| =3 on considère l'intervalle In=[1/n,1-1/n], vérifie que l'on a bien I3 c I4 c I5 c ... et que la réunion de tout les intervalles In est l'intervalle ]0,1[.
A noter que les In sont tous des intervalles fermés, que toute réunion finie de certains de ces intervalles est évidement un intervalle fermé, vu que cette réunion est le plus grand d'entre eux MAIS que la réunion de tout les intervalles n'est pas un intervalle fermé.

Oui c'est en effet absurde, je pensais plutôt à d(x,C) = ||P_C (x)||?

ça, c'est O.K. mais cela signifie que, partant du fait que d(x,C)=lim d(x,Cn), tu peut seulement déduire que ||P_C(x)||=lim ||P_Cn(x)|| ce qui est (trés) loin de prouver que P_C(x)=lim P_Cn(x) ne serait ce que du fait que deux veceurs peuvent trés bien avoir la même norme sans pour autant être égaux. En fait, ce qui n'est pas du tout évident à démontrer c'est que la suite de "points" (i.e. d'éléments de H) P_Cn(x) admet bien une limite dans H. Ensuite, il n'est pas trop difficile de montrer que cette limite est forcément P_C(x).

[lisonn]

Désolée de répondre si tard, je n'ai pas eu de connexion pendant une semaine, ça m'a permis de laisser un peu décanter tout ça....
Ben, merci beaucoup pour tes explications qui m'ont beaucoup éclaircie. C'est maintenant beaucoup plus clair!