Espace de Hilbert

[superkader5]

Bonjour, je voudrais savoir si E le sous espace vectoriel de l²(N) constitué des suites de nombres complexes nulles a partir d'un certain rang est un espace de hilbert. Merci

[Doraki]

Ca m'étonnerait qu'il soit complet, donc non.

[Ben314]

Ca m'étonerais aussi que qui que ce soit le note l²(N)...

Edit, en plus, pour savoir si c'est ou pas un Hilbert, il faudrait savoir de quel forme hermitienne tu le muni...

[ffpower]

Edit, en plus, pour savoir si c'est ou pas un Hilbert, il faudrait savoir de quel forme hermitienne tu le muni...

En fait non : vu qu'il est de dimension dénombrable, il est jamais complet :zen:

[superkader5]

J'ai oublié de rajouté que E est munit d'un produit scalaire particulier qui est:

= somme(Xn,Yn(bar)) de n=0 a l'infini

Donc E est préhilbertien.

"vu qu'il est de dimension dénombrable, il est jamais complet "
Ca c'est vrai en toute généralité?

[Ben314]

J'ai oublié de rajouté que E est munit d'un produit scalaire particulier qui est:
= somme(Xn,Yn(bar)) de n=0 a l'infini
Donc E est préhilbertien.
"vu qu'il est de dimension dénombrable, il est jamais complet "
Ca c'est vrai en toute généralité?

Pour le produit hermitien, je te chariais un peu pour que tu aprenne à être précis, mais on se doutait un peu que c'était celui là (qui est le produit hermitien usuel sur l²(N)) (qui n'est pas ton espace E, mais justement son complété pour le norme associée.

Pour ta question, la réponse est oui : un espace de Hilbert ne peut pas avoir de base dénombrable (au sens algébrique du mot base, c'est à dire tout élément doit être combinaison linéaire finie d'éléments de la base)
Attention à ne pas confondre avec la notion de "base hilbertienne" qui elle peut tout à fait être dénombrable (c'est le cas des Hilbert séparables)

[alavacommejetepousse]

oui conséquence de baire

ou plus simplement

en notant

u^(n) = (1,1/2,1/3,...,1/n,0...)

la suite u^(n) est de cauchy ds ton espace mais ne saurait convarger vers un élément de cet espace