Espace engendré par les matrices nilpotentes

[Myreage]

Bonjour à tous !
Je cherche à montrer que l'ensemble des matrices de trace nulle est engendré par les matrices nilpotentes.

J'ai déjà que toute combinaison linéaire de matrices nilpotente est de trace nulle, puisque chaque matrice est de trace nulle d'après ses valeurs propres.

J'ai alors pensé à décomposer une matrice de trace nulle, en effet:
-elle est combinaison linéaire de Eij avec i =/= j, avec ces Eij nilpotents
-reste alors la diagonale, que je ne sais pas comment aborder...

Quelqu'un saurait-il m'aider ou orienter ma réflexion ?

Merci d'avance,
Myreage

[lionel52]

Salut!
Si tu as une matrice 2x2 diagonale avec 1 et -1 alors la matrice
(1 1)
(-1 -1) est nilpotente


Donc pour ta matrice diagonale D = (a1,....,an) avec a1+...+an = 0, on va procéder comme ceci :
Le but c'est d'éliminer petit à petit les coefficients sur la diagonale :

1ere étape entre a1 et a2 :
Ta matrice se décompose sous la forme
D = diag(a1,-a1,0,....0) + diag(0,a1+a2,a3,....,an)
La 1ere partie tu la décomposes sous la forme :

(a1 a1 0 0 ... 0 )
(-a1 -a1 0 0 ... 0)
(0
(0 0 ................0)

+ Matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle (donc nilpotente)+ Matrice triangulaire inférieure de diagonale nulle (donc nilpotente)

Décomposition de 3 matrices nilpotentes.

Ensuite tu reproduis le schéma avec les coeff a1+a2 et a3

A la fin au coefficient n-1 et n tu obtiens a1+a2...+an-1 = -an et an et tu as gagné en faisant la décomposition habituelle

[Myreage]

La 1ere partie tu la décomposes sous la forme :

(a1 a1 0 0 ... 0 )
(-a1 -a1 0 0 ... 0)
(0
(0 0 ................0)

Ce petit bout me pose problème... Je ne vois pas tout à fait le lien avec ce qui précède

EDIT : j'ai compris la décomposition, merci bien !
Je vais tirer les calculs jusqu'au bout pour voir si j'ai le bon résultat!

[Myreage]

Pour conclure :

On obtient que toute matrice de trace nulle peut être décomposée en combinaison linéaire de matrices nilpotentes.
Est-ce suffisant pour justifier que l'ensemble Ker(Trace) est engendré par les matrices nilpotentes ?

[Robot]

Tu demandes si ça suffit pour démontrer que ?

[Myreage]

C'est cela

[Robot]

M'enfin ? Tu dois tout de même connaître la relation entre sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E et ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A, non ?

[Myreage]

Eh bien, l'espace engendré est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A.
Donc ici, en montrant que toute matrice de trace nulle est combinaison linéaire des matrices nilpotentes, on a Ker(tr) est CONTENU dans l'ensemble engendré par les nilpotentes, non ?

[Robot]

Re-m'enfin ? Les matrices nilpotentes ne sont-elles pas de trace nulle ? Qui a écrit

J'ai déjà que toute combinaison linéaire de matrices nilpotente est de trace nulle, puisque chaque matrice est de trace nulle d'après ses valeurs propres.

?????

[Myreage]

Oups en effet, on dirait que je me suis emmêlé les pinceaux !
Merci !