Espace affine

[minidiane]

Bonsoir,

Je dois démontrer le théorème de Ceva: Soient ABC un triangle, A' appartient à (BC), C' à (AB) et B' à (CA). Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes si et seulement si



où A'B, A'C, B'C, B'A, C'a et C'B sont des mesures algébriques.

On considère l'espace affine euclidien A(R^3) rapport à un repère (O,i,j,k) noté Oxyz.

Je ne vois pas du tout comment procéder, j'aimerai bien un peu d'aide svp.
Merci.

Quelqu'un m'a dit de procéder de la manière suivante:

On peut prendre par exemple le repère affine (A, AB (vecteur), AC (vecteur) )

1. Calcul l'équation de la droite (BC)
2. Calcul des coordonnée de A', B', et C' en utilisant un paramètre
3. Calcul A'B/A'C , B'C/BA et C'A/C'B
4. Trouver les équation des droite (AA'), (BB') et (CC').
Calcul du déterminant pour que ces trois droites soit concourrantes et on doit trouver en théorie le résultat

Mais je n'arrive pas à trouver l'équation de (BC) :marteau:

Quelqu'un peut m'aider?
Merci.

[Maxmau]

Bj

Dans le repère (A,AB,AC)
B a pour coordonnées ( 1, 0)
C a pour coordonnées (0,1)
La droite (BC) a donc pour équation: x + y = 1

[minidiane]

Bonjour merci de m'aider,

je n'ai pas bien compris comment tu as trouvé l'équation de (BC).
Les coordonnées c'est bon je viens de comprendre. Merci

[minidiane]

C'est bon je viens de trouver.
Par contre je ne vois pas bien comment trouver les coordonnées de A', B', et C' :mur:

[Maxmau]

C'est bon je viens de trouver.
Par contre je ne vois pas bien comment trouver les coordonnées de A', B', et C' :mur:

Etape 2
A' =( s , 1-s ) où t est un paramètre
B' = ( 0 , t )
C' = ( u , 0 )

[minidiane]

ah oui d'accord

en prenant
A' =( a' , 1-a' )
B' = ( 0 , b' )
C' = ( c' , 0 )

pour les rapports je trouve:

A'B/A'C=a'-1/a'
B'C/BA=1-b'/b'
C'A/C'B=c'/1-c'

est-ce que c'est correcte?

pour la suite j'ai trouvé:

(AA'): x(1-a)-ay=0
(BB'): bx+y-b=0
(CC'): x+cy-c=0

par contre je bloque un peu pour le déterminant

|1-a' -a' 0|
|b' 1 -b'| = 0
|1 c' c'|

je trouve c'(1+b')-a'(c'-b')=0
et après je ne sais pas quoi faire.

[Maxmau]

A'B/A'C=a'-1/a'
B'C/BA=1-b'/b'
C'A/C'B=c'/1-c'

Il faut calculer a' en fonction de A'B/A'C...etc...
et reporter ces valeurs dans ta dernière relation.

Si tu n'as pas fait d'erreurs ça doit marcher

[minidiane]

Je n'ai pas bien compris pourrais tu me réexpliquer stp?
Merci

[Maxmau]

Je n'ai pas bien compris pourrais tu me réexpliquer stp?
Merci

En posant p =A'B/A'C , on a: p = a'-1/a'
D'où: a' = 1/(1-p)
de même b' , c'
on reporte ces valeurs dans la relation:
c'(1+b')-a'(c'-b')=0
et si il n'y a pas d'erreur.....

[minidiane]

voici ce que j'ai trouvé:

b'=1/p+1
c'=p/p+1

Par contre après je n'arrive pas à trouvé voici ce que j'obtiens:

[Maxmau]

voici ce que j'ai trouvé:

b'=1/p+1
c'=p/p+1

Par contre après je n'arrive pas à trouvé voici ce que j'obtiens:

attention!!
b' s'exprime en fonction de q = B'C/BA
c' s'exprime en fonction de r = C'A/C'B

la relation finale est entre p,q,r

[minidiane]

ah ok

voici ce que je trouve:


Je crains qu'i n'y des erreurs dans mes calculs précédent mais je ne vois pas où.

[Maxmau]

Bj

Je reprends tes notations et tes calculs (il y a des erreurs !!)
A(0,0) B(1,0) C(0,1)
A’(a’,1-a’) B’(0,b’) C’(c’,0)

Je pose p = A’B/A’C , q = B’C/B’A , r = C’A/C’B
Je trouve p = (a’-1)/a’ , q = ( b’-1)/b’ , r = c’/(c’-1) ( il y avait des erreurs)

(AA’) (1-a’)x – a’y = 0
(BB’) b’x + y – b’ = 0
(CC’) x +c’y –c’ = 0 ( là pas d’erreurs à part les « prime »)

Le déterminant des coeff = (1-a’)c’(b’-1) + a’b’(1-c’) = 0 ( là tu n’as pas développé correctement le déterminant)
En divisant par le produit a’b’(c’-1) on fait apparaître p,q,r (c’est plus habile que de remplacer a’,b’,c’ par leurs valeurs en fonction de pq,r) et cette condition s’écrit :
pqr =-1

[minidiane]

Merci pour ton aide, par contre pourrais tu m'expliquer comment tu as trouvé

p = (a’-1)/a’ , q = ( b’-1)/b’ , r = c’/(c’-1) car je n'arrive pas à trouver ces résultats, je ne trouve pas mes erreurs.

[Maxmau]

Merci pour ton aide, par contre pourrais tu m'expliquer comment tu as trouvé

p = (a’-1)/a’ , q = ( b’-1)/b’ , r = c’/(c’-1) car je n'arrive pas à trouver ces résultats, je ne trouve pas mes erreurs.

p = A’B/A’C est le rapport des 2 vecteurs A'B et A'C
tu connais les coordonnées de A',B,C donc les coordonnées de ces 2 vecteurs
alors ....

[minidiane]

p = A’B/A’C c'est bon je trouve bien la même chose mais c'est les deux autres où je ne trouve pas la même chose. Alors que je procède de la même manière.