Bonjour à tous, j'ai un exercice de maths à faire et j'ai un peu de mal à le résoudre :
Soit f continue et bornée sur ]0, +infini[. On considère l'équation différentielle suivante :
xy' - y + f(x) = 0
1) Démontrer que l'équation admet une unique solution g telle que g' ait une limite nulle en + infini.
2 ) On suppose de plus que f a une limite + infini. Démontrer que g a également une limite en + infini.
La première question, c'est bon.
La deuxième, c'est plus compliqué ... Pourriez-vous me donner un coup de main ?
Merci d'avance !!
Equations différentielles
6 messages
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Re: Equations différentielles
par Kolis » 20 Mai 2018, 17:31
Bonjour !
C'est bon ? Pour t'aider je veux voir ta solution : même sans démonstration, l'expression que tu as obtenue pour la fonction
.
C'est en fonction de cette expression que je pourrais t'aider.
C'est bon ? Pour t'aider je veux voir ta solution : même sans démonstration, l'expression que tu as obtenue pour la fonction
C'est en fonction de cette expression que je pourrais t'aider.
Re: Equations différentielles
par Yezu » 20 Mai 2018, 17:59
Je ne pense qu'il ait pu obtenir une expression de la fonction . Il a juste pu montrer qu'il existe une unique solution que l'on note qui verifie  = 0)
Re: Equations différentielles
par pascal16 » 20 Mai 2018, 18:09
j'ai des doutes, sauf erreur de ma part :
si y est solution, "y+ax" l'est aussi, et la limite me semble pas si nulle que ça
des infos sur f ?
si y est solution, "y+ax" l'est aussi, et la limite me semble pas si nulle que ça
des infos sur f ?
Re: Equations différentielles
par Ben314 » 20 Mai 2018, 21:00
Salut,
En procédant comme d'habitude (équation homogène + variation de la constante), on trouve que les solutions de (E) sont les fonctions=\lambda x+x\int_x^\infty \dfrac{f(t)}{t^2}dt)
avec 
(en tenant compte du fait que 
est supposé bornée ce qui garanti l'intégrabilité de }{t^2})
en 
)
Après, la but est de montrer qu'il y en a une et une seule telle que\mathop{\longrightarrow}\limits_{x \to\infty}0)
.
Et comme on a=\lambda-\dfrac{f(x)}{x}+\!\int_x^\infty \dfrac{f(t)}{t^2}dt\mathop{\longrightarrow}\limits_{x \to\infty}\lambda)
, l'unique solution est celle avec 
.
Et on a alors=x\!\int_x^\infty \dfrac{f(t)}{t^2}dt=\int_1^\infty \dfrac{f(xs)}{s^2}ds \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \to\infty}\ell\ \text{ si on suppose que }\ f(x)\mathop{\longrightarrow}\limits_{x \to\infty}\ell)
En procédant comme d'habitude (équation homogène + variation de la constante), on trouve que les solutions de (E) sont les fonctions
Après, la but est de montrer qu'il y en a une et une seule telle que
Et comme on a
Et on a alors
Modifié en dernier par Ben314 le 21 Mai 2018, 15:43, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Equations différentielles
par Kolis » 21 Mai 2018, 14:33
Bonjour Ben314 !
J'obtiens aussi cette expression pour mais ne voulais pas la donner directement.
Pour la limite on peut aussi écrire :-\ell=x\int_x^{+\infty}\dfrac{f(t)-\ell}{t^2}\mathrm{d}t)
J'obtiens aussi cette expression pour
Pour la limite on peut aussi écrire :
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