Partie entière et équations + inéquations

[pluie2]

J'aimerais comprendre comment résoudre une équation ou inéquation avec une partie entière (avoir une méthode globale qui marche comme pour résoudre une équation avec une valeur absolue).

En voici quelques unes :

a) [2x+3]=[x+2]
b) x[x]=x²-[x]²
c) [2x+3]<=[3x²+5]

j'ai essayé de faire :


a)

[x+2]=[x]+2
[2x+3] : 2[x]+3<= 2x+3 < 2[x]+5 donc deux possibilités : [x]+3/2<=2x+3<[x]+2 ou ?

merci de m'aider

[capitaine nuggets]

Salut !

J'aimerais comprendre comment résoudre une équation ou inéquation avec une partie entière (avoir une méthode globale qui marche comme pour résoudre une équation avec une valeur absolue).

En voici quelques unes :

a) [2x+3]=[x+2]
b) x[x]=x²-[x]²
c) [2x+3]<=[3x²+5]

j'ai essayé de faire :


a)

[x+2]=[x]+2
[2x+3] : 2[x]+3<= 2x+3 < 2[x]+5 donc deux possibilités : [x]+3/2<=2x+3<[x]+2 ou ?

merci de m'aider

E(f(x))=E(g(x)) IMPLIQUE |f(x)-g(x)|<1.
Résous cette inéquation.
En notant S les solutions, vu qu'on avait qu'une implication, il faut vérifier quels éléments de S vérifient E(f(x))=E(g(x))

[pluie2]

bonjour !

merci de m'avoir répondu :

je dois donc quand j'ai des équations de parties entières, toujours passer par la valeur absolue ?

Donc je trouve que x>-2 et x<0 soit S=]-2;0[.
[2*-2+3]=-1 et [2*0+3]=3 et [-2+2]=0 et [0+2]=2 comme ceci ?

et pouvez vous m'aider pour les autres ?

[capitaine nuggets]

bonjour !

merci de m'avoir répondu :

je dois donc quand j'ai des équations de parties entières, toujours passer par la valeur absolue ?

Donc je trouve que x>-2 et x<0 soit S=]-2;0[.
[2*-2+3]=-1 et [2*0+3]=3 et [-2+2]=0 et [0+2]=2 comme ceci ?

et pouvez vous m'aider pour les autres ?

Oui pour S, mais non pour la suite.
Tu dois trouver les valeurs de x dans ]0,2[ qui vérifient ton équation parce certaines ne la vérifie peut-être pas.

Remarque qu'après avoir étudier les solutions pour x dans [0,1[, xE(x)=x²-(E(x))² équivaut à

équivaut à .
Or donc ...

[pluie2]

a) je ne peux pas faire du cas pas car dans S pour trouver les solutions car si j'avais un ensemble de solutions plus grand ça prendrait du temps non ?

b) je ne comprends pas comment vous avez trouvez votre expression...
Autrement : je pose X= x/[x]

Donc j'ai X²-X-1=0 et je trouve X1=(1-rac5)/2 et X2=(1+rac5)/2

Donc x/[x]=(1-rac5)/2 ou (1+rac5)/2
et après ?

c) j'ai du mal à comprendre le fait que [3x²+5]=[3x²]+5 car [x]

[pluie2]

a) je ne peux pas faire du cas pas car dans S pour trouver les solutions car si j'avais un ensemble de solutions plus grand ça prendrait du temps non ?

b) je ne comprends pas comment vous avez trouvez votre expression...
Autrement : je pose X= x/[x]

Donc j'ai X²-X-1=0 et je trouve X1=(1-rac5)/2 et X2=(1+rac5)/2

Donc x/[x]=(1-rac5)/2 ou (1+rac5)/2
et après ?

c) j'ai du mal à comprendre le fait que [3x²+5]=[3x²]+5 car [x]

[alavacommejetepousse]

Bonjour ,

a) Passer par la valeur absolue me semble lourd.
Poser [x] = n
on a [2x] = 2n ou 2n+1 (question de retenue éventuelle)
d'où une équation facile en n.

b) bonne idée X (ne pas oublier le cas [x] = 0 !) et se rappeler X>=1 et x < [x] +1

[pluie2]

bonjour, j'ai un ds demain matin et j'avoue que j'attendais une réponse donc :

a) en gros je résous 2n+3=2x+2 ou 2n+4=2x+2 ?

b) oui mais je ne vois pas trop comment conclure...

c) même problème

[chan79]

salut
le a) est résolu ?

[pluie2]

bonjour,

Pour le c), j'ai dit que c'était toujours vrai.

a) [2x+3]=[x+2]

Alors : 2x+2<[2x+3]<2x+3 et x+1<[x+2]
Donc : 2x+3=x+2 pour x=-1
2x+2=x+2 pour x=0
x+1=2x+3 pour x=-2
x+2=2x+3 pour x=-1

Donc Solution x=-1

b) Pouvez vous me détailler la résolution (j'ai un ds demain) ?

[chan79]

tu résouds dans Z ou dans R ?

[pluie2]

dans R je pense (ce n'est pas précisé)

[chan79]

dans R je pense (ce n'est pas précisé)

alors -1,1 convient

si 2x+3 et x+2 ont la même partie entière, leur écart est inférieur ou égal à 1

|(2x+3)-(x+2)|<=1

|x+1| <= 1

-1<=x+1<=1

-2<=x<=0
il faut donc tester dans l'intervalle [-2;0]
on discute avec des intervalles de longueur 0.5 à cause de 2x+3 (multiplication par 2)

1°) si -2<=x<-1.5
0<=x+2<0.5 donc [x+2]=0
-4<=2x<-3
-1<=2x+3<0 donc [2x+3]=-1
pas de solution

2°) si -1.5<=x<-1
0.5<=x+2<1 donc [x+2]=0
-3<=2x<-2
0<=2x+3<1 donc [2x+3]=0
tous les x de [-1,5,-1[ sont solution

3°) si -1<=x<-0.5
1<=x+2<1.5 donc [x+2]=1
-2<=2x<-1
1<=2x+3<2 donc [2x+3]=1
tous les x de [-1,-0.5[ sont solution

4°) si -0.5<=x<0
1.5<=x+2<2 donc [x+2]=1
-1<=2x<0
2<=2x+3<3 donc [2x+3]=2
pas de solution

Finalement les solutions sont les éléments de l'intervalle [-1.5;-0.5[

[pluie2]

ok j'ai un peu de mal à comprendre votre raisonnement notamment l'histoire du 0,5...Mais quand je v"rifie à la calculatrice, je trouve bien que les deux parties entières sont égales pour x=-1 ? En quoi ma méthode ne fonctionne pas?

[chan79]

ok j'ai un peu de mal à comprendre votre raisonnement notamment l'histoire du 0,5...Mais quand je v"rifie à la calculatrice, je trouve bien que les deux parties entières sont égales pour x=-1 ? En quoi ma méthode ne fonctionne pas?

-1 fait partie des solutions ainsi que tout réel de l'intervalle [-1.5;-0.5[
Essaie avec -0.6
Le but est de trouver toutes les solutions, bien-sûr :zen:

On fait des intervalles de longueur 0.5 pour obtenir des intervalles de longueur 1 pour 2x+3 et ainsi obtenir les parties entières.

[pluie2]

ok d'accord.

Et pour la b) celle que je ne sais vraiment pas résoudre pouvez vous me dire comment la résoudre (j'ai un ds demain ^^)

[pluie2]

juste pour la a), si j'avais vu un strictement supérieur au lieu du égal en quoi la méthode de résolution aurait été changée ?

[chan79]

juste pour la a), si j'avais vu un strictement supérieur au lieu du égal en quoi la méthode de résolution aurait été changée ?

dans ce cas, il faut reprendre

[chan79]

ok d'accord.

Et pour la b) celle que je ne sais vraiment pas résoudre pouvez vous me dire comment la résoudre (j'ai un ds demain ^^)

supposons que 1<=x<2

x[x]=x
x²-[x]²=x²-1
il faut résoudre x²-1=x
x²-x-1=0
on trouve une solution: le nombre d'or=

il faut généraliser aux intervalles [p;p+1[

en fait il y a une seule autre solution qui est 0

[pluie2]

d'accord je vais relire ça

mais que voulez vous dire par "il faut reprendre" dans votre précédent message ?