Equations différentielles

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julesmp
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Equations différentielles

par julesmp » 20 Mai 2018, 17:36

Bonjour à tous, j'ai un exercice de maths à faire et j'ai un peu de mal à le résoudre :

Soit f continue et bornée sur ]0, +infini[. On considère l'équation différentielle suivante :
xy' - y + f(x) = 0

1) Démontrer que l'équation admet une unique solution g telle que g' ait une limite nulle en + infini.
2 ) On suppose de plus que f a une limite + infini. Démontrer que g a également une limite en + infini.

La première question, c'est bon.
La deuxième, c'est plus compliqué ... Pourriez-vous me donner un coup de main ?

Merci d'avance !!



Kolis
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Re: Equations différentielles

par Kolis » 20 Mai 2018, 19:31

Bonjour !
C'est bon ? Pour t'aider je veux voir ta solution : même sans démonstration, l'expression que tu as obtenue pour la fonction .
C'est en fonction de cette expression que je pourrais t'aider.

Yezu
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Re: Equations différentielles

par Yezu » 20 Mai 2018, 19:59

Je ne pense qu'il ait pu obtenir une expression de la fonction . Il a juste pu montrer qu'il existe une unique solution que l'on note qui verifie

pascal16
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Re: Equations différentielles

par pascal16 » 20 Mai 2018, 20:09

j'ai des doutes, sauf erreur de ma part :
si y est solution, "y+ax" l'est aussi, et la limite me semble pas si nulle que ça

des infos sur f ?

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Ben314
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Re: Equations différentielles

par Ben314 » 20 Mai 2018, 23:00

Salut,
En procédant comme d'habitude (équation homogène + variation de la constante), on trouve que les solutions de (E) sont les fonctions avec (en tenant compte du fait que est supposé bornée ce qui garanti l'intégrabilité de en )
Après, la but est de montrer qu'il y en a une et une seule telle que .
Et comme on a , l'unique solution est celle avec .
Et on a alors
Modifié en dernier par Ben314 le 21 Mai 2018, 17:43, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Kolis
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Re: Equations différentielles

par Kolis » 21 Mai 2018, 16:33

Bonjour Ben314 !
J'obtiens aussi cette expression pour mais ne voulais pas la donner directement.

Pour la limite on peut aussi écrire :

 

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