équation du second degré avec complexe 2

[novicemaths]

Bonjour

Je souhaite vérifier que et une racine de

Voici comment je procède.



2i est bien une racine de P(z).

Est-ce que ce petit calcul est correct ?

Maintenant, je dois en déduire une factorisation de P(z) comme ceci (z-2i)Q(z)

J'ai essayé une division polynomiale, je suis bloqué avec les complexe, c'est la première fois que je fais une division polynomiale dans C .

Comme vous pouvez le voir ci-dessous, je ne vois pas comment procéder entre (5+7i)z et z(2i).

Pourriez-vous me débloquer.



Merci !

A bientôt

[vam]

Bonjour
tu as une erreur dans ta division
ton reste en Z² n'est pas juste, tu as oublié de tenir compte de la 1re ligne

[hdci]

Bonjour,
Il y a une erreur de calcul : après avoir trouvé z² dans la division, il faut retirer au polynôme z²(z-2i), mais alors


Or vous avez écrit à gauche, en troisième ligne, à la place

[Black Jack]

Bonjour,

[annick]

Bonjour,

sinon, on peut toujours procéder de façon classique :

P(z)=(z-2)Q(z) avec Q(z)=az²+bz+c (pour obtenir un P(z) du troisième degré)
P(z)=z^3-z²+(5+7i)z+10-2i

On développe la première équation en regroupant les termes en z par degré.
On procède ensuite par identification à P(z) initial, ce qui permet de trouver a, b et c.

[annick]

@ Black Jack, je crois que tu as fait une petite erreur dont on s'aperçoit en redéveloppant le produit : le terme en z n'est pas -1-2i, mais -1+2i ce qui après factorisation te donne -z(1-2i) et non -z(1+2i)

[Black Jack]

@ Black Jack, je crois que tu as fait une petite erreur dont on s'aperçoit en redéveloppant le produit : le terme en z n'est pas -1-2i, mais -1+2i ce qui après factorisation te donne -z(1-2i) et non -z(1+2i)

Oui

[novicemaths]

Bonjour

Merci !!

Faudra que je m’entraîne à faire ce type de calcul.

A bientôt

[Black Jack]

Bonjour,

Juste pour le fun ...

On peut aussi faire autrement :

Dès que l'on sait que P(z) est factorisable par (z-2i) ... on s'arrange pour faire apparaître ce facteur.

z³ - z² + (5+7i)z + 10 - 2i
= z³ - 2iz² + 2iz² - z² + (5+7i)z + 10 - 2i
= z²(z-2i) + (2i-1)z² + (5+7i)z + 10 - 2i
= z²(z-2i) + (2i-1)z² - 2i(2i-1)z + 2i(2i-1)z + (5+7i)z + 10 - 2i
= z²(z-2i) + (2i-1)z * (z-2i) + (-4-2i)z + (5+7i)z + 10 - 2i
= z²(z-2i) + (2i-1)z * (z-2i) + (1+5i)z + 10 - 2i
= z²(z-2i) + (2i-1)z * (z-2i) + (1+5i)z - 2i(1 + 5i)
= z²(z-2i) + (2i-1)z * (z-2i) + (1+5i)(z - 2i)
= (z-2i).(z² - (1-2i)z + 1+5i)

Sauf nouvelle distraction.

[novicemaths]

Merci Black Jack !

je préfère y aller à la dure (division de polynôme).

A bientôt