équation matricielle M^p = T

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acteon
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équation matricielle M^p = T

par acteon » 08 Mai 2025, 16:33

Bonjour, p est fixé et je dois chercher les matrices carrées de taille 2 à coeff dans C telles que M^p = T où T=(1 1) (0 1) (matrice triangulaire supérieure dont les coeff non nuls valent 1).
J'ai plusieurs pistes:
- poser M=(I+ N/p) où N est la matrice avec des coef nuls sauf en haut à droite qui vaut 1: ça fonctionne par binome puisque N^k =0 pour k>=2
- chercher M sous la forme (a b) (0 a) et alors il faut et suffit que a^p = 1 et b=1/(p a^p-1)
mais je n'arrive pas à être sûr d'avoir toutes les solutions. il faut peut-être utiliser que M^p = 0 est impossible si p>=2 car c'était une question précédente.
A priori on peut trouver toutes les solutions.

Merci si vous avez des idées!



acteon
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Re: équation matricielle M^p = T

par acteon » 08 Mai 2025, 17:36

bien sûr..X commute avec T donc le sous-espace propre associé à 1 est stable, la première colonne est de la forme (a,0)..on a X de la forme (a ,b) (0,c)...je réfléchis si c doit etre egal à a..

acteon
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Re: équation matricielle M^p = T

par acteon » 08 Mai 2025, 18:11

oui en utilisant XN=NX on a assez facilement c=a. Il y a peut-être mieux cela dit.

Rdvn
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Re: équation matricielle M^p = T

par Rdvn » 08 Mai 2025, 21:35

Bonsoir
Quel est X ?

Peut être utile pour simplifier la forme d'écriture de M :
M et T commutent :
M^(p+1) = M^p M = M M^p
et avec M^p = T :
TM = MT

cela dit qu'un autre membre du forum n'hésite pas à suivre ce sujet
(je n'aurai aucune disponibilité ces prochains jours)

acteon
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Re: équation matricielle M^p = T

par acteon » 09 Mai 2025, 15:02

désolé , M et X désignent la même chose, l'inconnue.
Tout est ok pour moi, désolé pour le manque d'attention et merci

 

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