Equation matricielle

[ArtyB]

Bonsoir !

Dans un exercice on me demande de calculer les valeurs propres et espaces propres d'une matrice A (matrice 3x3); jusque là facile. Ensuite on me demande de donner les solutions dans M(R) et dans M(C) de l'équation matricielle suivante: M²=A et là je me pose des questions.
Que dois-je faire ?
-Poser a b c d e f g h i les coeffcients de M et egaliser ceux de M² à ceux de A pour ensuite résoudre quelque chose ?
-Puis je dire ceci:
M²=A
M*M=A
M=A*M^(-1)
M²=M*A*M^(-1)
et là je ne sais pas si on peut faire quelque chose d'intéressant ou pas...


Merci !

[adrien69]

Tu as trouvé que ta matrice était diagonalisable ?

A=PDP^-1
M²=PDP^-1=A

D=PM²P^-1=(PMP^-1)²

Donc tu cherches les Q tel que Q²=D, puis tu calcules P^-1QP ce qui te donnera tes M.

[ArtyB]

J'ai obtenu 3 valeurs propres pour une matrice 3x3, ce qui est une condition suffisante de diagonalisation il me semble (confirmez s'il vous plaît).

Sinon concernant ceci:
"D=PM²P^-1=(PMP^-1)²"
Ca ne serait pas plutôt:
D=P^(-1) M² P ?
Et comment fais tu pour mettre au carré le tout et l'égaliser ?
PM²P^-1=(PMP^-1)²

[Ben314]

Salut,
Effectivement, si ta matrice 3x3 A admet 3 valeurs propres distinctes, cela prouve qu'elle est diagonalisable.
Donc il existe D diagonale et P inversible telles que

Tu cherche donc M telle que soit .

Sauf que donc il suffit de résoudre , soit encore résoudre puis prendre .

Si tu cherche les solutions dans C, il y en aura forcément si tes 3 valeurs propres sont non nulles.

[ArtyB]

Ahhh oui en effet mes excuses !
Merci beaucoup !
Concernant les solutions dans C, comment une matrice peut-elle être dans C ? Cela signifie t-il que ses coefficients sont dans C ? Ou bien est-ce autre chose ?
Concernant le nombre de solutions, à partir de quoi pouvez savoir qu'il y aura 2^3 solutions ?

(Sinon, rien à voir mais comment faîtes vous pour avoir cette écriture mathématiques dans les messages sur le forum ?)

[Ben314]

Effectivement le terme de "solution dans C" est inaproprié, j'aurais du écrire "solutions dans " (mais c'est plus long à écrire...)
Je sais qu'il y a 2^3 solution car quand on élève une matrice diagonale au carré, ça élève les termes de la diagonale au carré. Donc quand on cherche des "racines carrées" d'une matrice diagonale, on peut prendre une matrice diagonale dont les termes sont des racines carrés des termes de celle de départ. Or tout complexe non nul admet exactement 2 racines carrés donc il y aura 2 possibilités pour chaque termes et comme tes matrices sont des 3x3 il y aura au total 2^3 possibilités.
Après, là où il y a un peu de calcul à faire (mais c'est archi. classique), c'est que si la matrice diagonale de départ dont on cherche les racines carrées a tout ces coeffs. différents, alors ces seules "racines carrées" seront elles aussi diagonales et donc il y en aura exactement 2^3 (si les termes diagonaux sont différents et non nuls)
Par contre, s'il y a 0 sur la diagonale, la seule racine qu'il aura sera 0 (donc une seule racine carrée et pas 2) et, s'il y a plusieurs fois la même valeur sur la diagonale, il y aura une infinité de racines carrées (qui ne seront pas toutes diagonales). Par exemple, parmi les "racines carrées" de la matrice il y a toutes les matrices de la forme

Concernant "l'écriture mathématique", c'est du "MimeTeX" (un succédané du LaTeX que tout les matheux emploient pour leur prose)
Tu en trouver une trés bonne introduction là :
http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php
Et tu peut aussi mettre "répondre" sur les messages contenant ce type de formules pour voir comment ça a été tapé.

[ArtyB]

S'il y a deux possibilité pour chaque termes de la diagonale d'une matrice 3x3 cela fait 2*3=6 et non 2^3=8, non ?

Et comment déterminer les coefficients de la matrice "racine carrée" ? Si tous les termes étaient positifs cela serait assez simple car pour trouver la racine de la matrice diagonale on aurait juste à faire la racine de chaque terme. Mais lorsque l'un des termes est négatif cela n'est pas possible, comment faire alors ?

Merci beaucoup pour l'écriture mathématique, je m'en vais regarder ça de ce pas !

[mathelot]

................

[paquito]

Donnons un exemple, ça sera peut être plus clair:

soit ; M admet 3 valeurs propres, 2, -1 et -4 et est donc diagonalisable; la recherche des s.e.v. propres conduit à:

et à

et on vérifie que:

;

On a donc Soit ; il est clair que toutes valeur propre de N est une racine carrée d' une valeur propre de D ce qui donne bien 8 possiblités de les associer.

Au hasard en est une.On obtient alors
et on vérifie que

Voila pour illustrer ce que Ben t'a expliqué; on a donc une équation de degré 2 avec 8 solutions dans le cas ou tu as 3 valeurs propres distinctes et non nulles

[ArtyB]

Merci beaucoup pour la réponse illustrée !
Cependant je ne comprends pas quelque chose parmi les valeurs propres il y avait des valeurs négatives et au moment de les mettre dans la matrice D les signes "-" ont disparu pourquoi ?
Et je ne vois pas 8 solutions mais 6:
sqrt{2} , - sqrt{2} , 1, -1, 2 et -2
Où sont les deux autres ?

[paquito]

j'ai changé d'avis et pris finalement 2,1 et 4,pour éviter les calculs complexes! il y a de toutes façons

2^3 solutions possibles (réfléchis...)

[paquito]

Merci beaucoup pour la réponse illustrée !
Cependant je ne comprends pas quelque chose parmi les valeurs propres il y avait des valeurs négatives et au moment de les mettre dans la matrice D les signes "-" ont disparu pourquoi ?
Et je ne vois pas 8 solutions mais 6:
sqrt{2} , - sqrt{2} , 1, -1, 2 et -2
Où sont les deux autres ?

et - sqrt{2},-1 t 2 c'est un peu plus que tes trois solutions!

[ArtyB]

D'accord pour les calculs complexes mais si une de mes valeurs propres est négative, j'ai un coefficient négatif dans ma matrice N² donc comment déterminer la matrice N ?

Mais j'ai jamais dit 3 solutions, j'ai dit 6 mais vous vous dîtes 8 alors il en manque 2 non ?

[Ben314]

Tu n'as pas fait un minimum de dénombrement pour savoir que, quand on a 2 possibilité 3 fois de suite, ça fait 2^3 possibilités ? (il me semblait qu'on faisait ça au Lycée avec des arbres).
Et les différentes possibilités, c'est surement pas +sqrt(2), -sqrt(2), 1 , -1 , 2 , -2 vu que ce qu'on cherche, c'est des matrices et pas des réels.
Par exemple, les 8 solutions de , ça va être :

; ;
; ;
et

A peu prés toute les personnes raisonnables résumes ça sous la forme en écrivant que ça fait 8 solutions.

Aprés, si tu cherche à résoudre par exemple alors, soit tu cherche les solution dans et... y'en a pas..., soit tu cherche les solutions dans et y'en a 8 qui sont évidement les

Enfin je (re)rappelle qu'il y a un truc à montrer qui n'est pas totalement trivial, c'est que, si une matrice diagonale avec tout ces termes diagonaux différents est le carré d'une autre matrice, alors cette autre matrice est elle aussi diagonale. (résultat faux s'il y a des valeur propres multiples)

[ArtyB]

Ahhhhhh au temps pour moi ! Je raisonnais en terme de nombre de coefficients possibles pour la matrice moi ! je suis idiot ><

Personnellement, avec mon exo j'obtiens:

Donc il faut que je:
1) montre que si une matrice diagonale avec tout ses termes diagonaux différents est le carré d'une autre matrice, alors cette autre matrice est elle aussi diagonale.
2) calcule les solutions dans C

[Ben314]

C'est bien ça le programme.
Concernant le 1), il y a (au moins) deux façons de faire :
- Soit bêtement (et un peu longuement) en écrivant une matrice quelconque (avec des lettres), en calculant son carré et en regardant on va avoir des 0 partout sauf sur la diagonales où on a des valeurs différentes.
- Soit en raisonnant de façon plus théorique, par exemple à l'aide du polynôme caractéristique : il suffit de montrer qu'il n'a pas de racines multiples pour en déduire que la matrice est diagonalisable sur C.

[ArtyB]

Merci beaucoup !
A l'aide du polynôme de ma matrice A de départ telle que A=PDP^(-1) ?
Parce que j'avais D'où le polynôme suivant: (1_X)(X²+X-12)=0 soit les valeurs propres suivantes: -4, 1 et 3.

Pour résoudre dans C, N²=D avec

j'obtiens:
S={ , , , , , , , }

[paquito]

Si tu considère , soitun vecteur propre de associé à la valeur propre et soit une des 2 racines carrées de tu as :

, donca les mêmes s.e. propres que D; si ces e.v. sont de dimension 1, le s.e propre associé à pour est le même que celui associé à pour qui est donc diagonale; le problème se complique quand n'est pas d'ordre 1; exemple simpliste:



A n'est pas diagonalisable, donc la méthode précédente ne marche plus!

[Ben314]

Sauf que dans ton laïus, tu suppose dès le départ que D est diagonalisable alors que, justement, c'est ce qu'on veut montrer...

[Ben314]

, donca les mêmes s.e. propres que D

??????
Si on suppose N diagonalisable, alors O.K. sauf que le "détail", c'est que "N diagonalisable", c'est ce qu'on aimerais montrer...


-> Essaye encore...