Equation matricielle

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ArtyB
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par ArtyB » 19 Avr 2015, 21:31

Mais en soit j'ai D diagonale car A=P D P^(-1)
Et du coup si N²=D N est forcément diagonale non ?
Et est-ce que ce que j'ai fait au dessus est bon ?



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Ben314
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par Ben314 » 19 Avr 2015, 21:49

NON, c'est complètement faux.
a) C'est surement pas parce que "ça sonne bien" que ça doit être vrai.
b) Je t'avais déjà dit 2 fois que c'était faux si on ne suppose pas les valeur propres distinctes et je t'ai même donné un contre exemple :
Ben314 a écrit:Par exemple, parmi les "racines carrées" de la matrice qui est diagonale il y a toutes les matrices de la forme qui ne sont pas diagonales


Au minimum, essaye de le prouver par du "calcul bourrin" en vérifiant bien que tu utilise à un endroit de la preuve le fait que les valeur sur la diagonale de D sont distinctes (sinon, c'est que ta preuve est fausse vu que sans cette hypothèse le résultat est faux).
Quand tu y sera arrivé, je te donnerais l'argument simple permettant de conclure dans le cas général (i.e. en dimension quelconque).
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ArtyB
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par ArtyB » 19 Avr 2015, 22:58

1) en quoi "ça sonne bien" ? Mes matrices sont diagonales et quand je les élève au carré elles me donnent ma matrice, je ne vois pas en quoi elles sont fausses...


2)En l'occurrence j'ai des valeurs propres distinctes: -4, 1 et 3 donc où est le problème ?
Et concernant la forme de la matrice je ne comprends pas, qu'est-ce que ça a avoir avec mes matrices solutions ? Elles ne sont pas de cette forme là.

Par le calcul "bourrin" j'ai:

avec
Donc si j'égalise N² et D j'obtiens:
a²+bd+cg=-4
db+e²+fh=1
gc+fh+ic=3
ab+bc+ch=ac+bf+ci=da+ed+fg=dc+ef+if=ga+hd+gi=gb+he+ih=0
Mais je ne vois pas où ça me mène...

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Ben314
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par Ben314 » 20 Avr 2015, 01:40

Bon, pour la je sais pas combien-ième fois, le problème n'est pas de savoir si elles sont "fausses" : ce sont clairement des solutions de l'équation N²=D, et, tout aussi clairement, ce sont les seule solutions diagonales de l'équation N²=D.
La question, c'est donc "sont elles les seules solution de u problème ?", c'est-à-dire, peut il exister une/des matrices non diagonale N telle que N²=D.

Ce qui est complètement faux, c'est ça :
ArtyB a écrit:...j'ai D diagonale...
Et du coup si N²=D alors N est forcément diagonale.
(voir contre exemple çi dessus) que tu affirme uniquement parce que... ça t'arrangerais bien que ce soit vrai... sauf que c'est pas comme ça que ça marche les maths.
ArtyB a écrit:a) En l'occurrence j'ai des valeurs propres distinctes: -4, 1 et 3 donc où est le problème ?
b) Et concernant la forme de la matrice je ne comprends pas, qu'est-ce que ça a avoir avec mes matrices solutions ? Elles ne sont pas de cette forme là.

a) Le problème, c'est qu'à part en me faisant confiance sur parole, tu n'as toujours pas écrit le début de la moitié d'une preuve pour justifier que, vu que D est diagonale à valeur diagonales distinctes, les solutions de N²=D sont forcément diagonales : tu peut me pointer du doigt où est-ce que, pour le moment tu as utilisé le fait que tes 3 v.p. était distinctes ? (alors que l'exemple que je t'ai donné montre que c'est crucial)
b) Tes matrice solutions ne sont pas de la forme ????? Ah ben elle est bien bonne celle là. Elle sont de quelle forme alors ?

ArtyB a écrit:Donc si j'égalise N² et D j'obtiens:
a²+bd+cg=-4
db+e²+fh=1
gc+fh+=3
ab+be+ch=ac+bf+ci=da+ed+fg=dc+ef+if=ga+hd+gi=gb+he+ih=0
Mais je ne vois pas où ça me mène...
Ben déjà, il faudrait éviter de se gourrer en élevant N au carré...
Ensuite, avec beaucoup de sueur, on doit arriver à en déduire que b=c=d=f=g=h=0.

Sinon, la bonne méthode, c'est évidement de passer par le polynôme caractéristique vu qu'une matrice est diagonalisable à valeur propres distinctes ssi le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
Or, si alors

Et, comme est scindé (dans C) et à racines simples c'est que l'est aussi.
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ArtyB
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par ArtyB » 20 Avr 2015, 03:32

Ben314 a écrit:Bon, pour la je sais pas combien-ième fois, le problème n'est pas de savoir si elles sont "fausses" : ce sont clairement des solutions de l'équation N²=D, et, tout aussi clairement, ce sont les seule solutions diagonales de l'équation N²=D.
La question, c'est donc "sont elles les seules solution de u problème ?", c'est-à-dire, peut il exister une/des matrices non diagonale N telle que N²=D.

Ahhhh je n'avais pas du tout compris ça ! Au temps pour moi alors !


Ben314 a écrit: a) Le problème, c'est qu'à part en me faisant confiance sur parole, tu n'as toujours pas écrit le début de la moitié d'une preuve pour justifier que, vu que D est diagonale à valeur diagonales distinctes, les solutions de N²=D sont forcément diagonales : tu peut me pointer du doigt où est-ce que, pour le moment tu as utilisé le fait que tes 3 v.p. était distinctes ? (alors que l'exemple que je t'ai donné montre que c'est crucial)

J'ai compris qu'il suffisait qu'elles soient distinctes pour que ça soit vrai or comme elles le sont j'en ai déduis directement...


Ben314 a écrit:b) Tes matrice solutions ne sont pas de la forme ????? Ah ben elle est bien bonne celle là. Elle sont de quelle forme alors ?


Je parlais de cette forme là:

Ben314 a écrit: Ben déjà, il faudrait éviter de se gourrer en élevant N au carré...
Ensuite, avec beaucoup de sueur, on doit arriver à en déduire que b=c=d=f=g=h=0.

Argh les erreurs de recopiage que je n'ai pas vu, merci !

Concernant la démonstration, pourquoi peut on dire que est scindé à racines simples dans C ? est-ce une propriété des matrices diagonales On a mais pourquoi est ce que cela implique que est lui aussi scindé à racines simples dans C ?

Sinon il n'y aurait pas une propriété énonçant que si une matrice commute avec une matrice diagonale à coefficients distincts alors elle est elle-même diagonale ?

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Ben314
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par Ben314 » 20 Avr 2015, 05:06

ArtyB a écrit:(a)Concernant la démonstration, pourquoi peut on dire que est scindé à racines simples dans C ? est-ce une propriété des matrices diagonales On a mais pourquoi est ce que cela implique que est lui aussi scindé à racines simples dans C ?
(b)Sinon il n'y aurait pas une propriété énonçant que si une matrice commute avec une matrice diagonale à coefficients distincts alors elle est elle-même diagonale ?
(a) Bon, déjà, c'est pas mais (ce qui n'a absolument rien à voir)
Ensuite, comme est scindé à racines simple, il s'écrit où les sont distincts et, si pour chaque k, on prend appelle une des deux racines carrées (dans C) de alors on a où les sont distincts. Donc le polynôme qui divise scindé à racines distinctes est lui même scindé à racines distinctes.
(b) Ca marcha aussi comme argument, modulo de savoir démontrer le résultat en question, bien sûr.
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ArtyB
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par ArtyB » 20 Avr 2015, 10:17

a) Au temps pour moi.
Je commence à comprendre ! Ce sont des notions mathématiques que je n'ai pas encore vraiment étudiées mais ça me parle et je pense comprendre.

b) Oui je n'ai aucune idée de comment démontrer que A et M commutent.

Donc pour résumer les étapes d'un pareil exercice:
-Montrer que A est diagonalisable, déterminer D et P; A=PDP^(-1)
-M²= A=PDP^(-1) donc D=N² avec N²=P^(-1)M²P
-On démontrer que le polynôme de N est scindé à racines distinctes ce qui implique que N est une matrice diagonale.
-On calcule les solutions dans C: telles que a²=-4 b²=1 c²=3
-Pas de solutions dans R donc ?

paquito
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par paquito » 20 Avr 2015, 11:34

Salut Ben,

en dimension 2 une matrice avec a pour carré une matrice diagonale D si et



so on prend on aboutit à ; donc si on exclus les valeurs propres d'ordre 2 on est obligé d'avoir N et D diagonales dans la même base de vecteurs propres.

Donc déjà, en dimension 2, ce n'est pas évident.
En plus si je prends j'obtiens et N est diagonalisable (, mais pas dans la même base!)

Donc, diagonalisable, je ne sais pas si c'est suffisant!!

ArtyB
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par ArtyB » 20 Avr 2015, 16:37

Humpf je crois comprendre mais je ne sais pas quoi en penser, je ne suis pas assez avancé en maths pour vraiment comprendre en fait.
Mais est-ce que ma méthode est bonne ? (cf message ci-dessus)

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Ben314
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par Ben314 » 20 Avr 2015, 18:12

Oui, c'est bon.
Et si tu trouve que l'argument avec le polynôme caractéristique est trop théorique à ton gout, utilise l'argument que tu as toi même trouvé, à savoir que, vu que N² commute évidement avec N²=D diagonale à v.p. distincte, elle est elle même diagonale.
Pour démontrer cette propriété, il n'y a besoin d'aucune théorie : on écrit juste les deux produits ND et DN et le résultat est immédiat (du fait que les valeur sur la diagonale de D sont distinctes)
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ArtyB
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par ArtyB » 22 Avr 2015, 01:58

D'accord merci beaucoup !
Nan j'aime bien la compliquée moi ça fait plus réfléchir haha
Un grand merci en tous cas !

 

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