Equation matricielle dans M2(R)

[Toasting]

Bonsoir,
Je suis en train de résoudre un exercice élémentaire de maths spé sur la réduction et diagonalisation matricielle.

Une question est la suivante :

Résoudre, dans M2(R) (matrices carrées 2x2), l'équation M^2 + M = (0 0 0 2)
(0 0 sur la première ligne, 0 2 sur la deuxième, désolé je n'ai pas encore pris le temps de regarder comment bien écrire les matrices sur ce site)


Ma démarche est de résoudre un système tout con avec la matrice (a b c d) d'inconnues a,b,c,d. Mais je suis arrivé à un résultat compliqué avec des cas et des sous-cas, etc. à cause de la matrice M^2 qui complique un peu tout. En effet je me retrouve avec des equation du 2e degré dont les solutions dépendent du signe du discriminant qui lui dépend de a, b, c, ou d, par exemple.

Avez-vous une astuce en tête pour résoudre cette équation ? Sachant que j'ai préalablement diagonalisé la matrice (1 1 1 1), mais à mon avis ça servira surtout pour la question d'après.
Je n'aurais pas la foi de poursuivre cet exercice si je n'ai que cette méthode barbare...


Merci :lol3:

[zygomatique]

salut

donne nous le système d'équations ....

[Toasting]

salut

donne nous le système d'équations ....

a^2 + a + bc = 0
ab + bd + b = 0
ac + dc + c = 0
d^2 + d + bc = 2


En réorganisant un peu tout,


a^2 + a + b^2 = 0
d^2 + d + b^2 = 2
b(a+d+1) = 0
b = c

[Doraki]

Quelles sont les valeurs possibles de (2M+1)² ?

[zygomatique]

a^2 + a + bc = 0
ab + bd + b = 0 (2)
ac + dc + c = 0 (3)
d^2 + d + bc = 2


En réorganisant un peu tout,


a^2 + a + b^2 = 0
d^2 + d + b^2 = 2
b(a+d+1) = 0
b = c

faux pour le deuxième système ...

à partir du premier on en déduit en factorisant que

(2) b = 0 ou a + d + 1 = 0
(3) c = 0 ou a + d + 1 = 0

il suffit d'essayer ...

[Toasting]

Quelles sont les valeurs possibles de (2M+1)² ?

cette expression donne (2M+1)² = 4(M²+M) + I, Donc si on suppose M²+M=(0 0/0 2), on a (2M + 1)² = (1 0/0 9)

...et alors ?

[Toasting]

cette expression donne (2M+1)² = 4(M²+M) + I, Donc si on suppose M²+M=(0 0/0 2), on a (2M + 1)² = (1 0/0 9)

...et alors ?

C'est bon, j'ai compris ! merci pour cette astuce, c'est vraiment malin ! mais comment faire pour y avoir pensé !

[Doraki]

Ben c'est toujours comme ça qu'on résout les équations de degré 2

si ax²+bx+c = 0,
alors 4a²x²+4abx+4ac = 0
et donc (2ax+b)² = b²-4ac (ici on doit avoir que a et b commutent avec x (et aussi entre eux), donc n'essaye pas avec des matrices non scalaires à la place de a et b)
et on est donc ramené à la recherche des racines carrées de b²-4ac

[Toasting]

Ben c'est toujours comme ça qu'on résout les équations de degré 2

si ax²+bx+c = 0,
alors 4a²x²+4abx+4ac = 0
et donc (2ax+b)² = b²-4ac
et on est donc ramené à la recherche des racines carrées de b²-4ac

Je vois, donc tu as en fait pris le problème à l'enver par rapport à moi en appliquant les méthodes de résolutions d'equations d'ordre 2 sur la matrice M, au lieu de développer à l'intérieur de la matrice. Merci, ça me servira surement plus tard.

[zygomatique]

Ben c'est toujours comme ça qu'on résout les équations de degré 2

si ax²+bx+c = 0,
alors 4a²x²+4abx+4ac = 0
et donc (2ax+b)² = b²-4ac (ici on doit avoir que a et b commutent avec x (et aussi entre eux), donc n'essaye pas avec des matrices non scalaires à la place de a et b)
et on est donc ramené à la recherche des racines carrées de b²-4ac

merci Doraki ....

très bien vu ....


:we: