Résolution équation différentielle du second ordre sous forme matricielle

[MargauxG]

Bonjour,
cela fait maintenant 2 semaines que je suis bloquée pour la résolution d'une équation différentielle du second ordre avec second membre. Le problème c'est qu'il faut absolument que je la résolve sous forme matricielle.
L'équation est x"= (-f/m)x' - (k/m)x + g*cos(x)*cste
j'ai posé y=x' pour transcrire le problème sous la forme d'une équation vectorielle du 1er ordre résolue en : X'= (x') L1 (y')L2 => X= (x)L1 (y)L2

j'ai posé
A(t)= (0 1 ) L1A et B(t)=(0)L1B
( (-k/m) (-f/m))L2A (g+cos(x)*cste) L2B

Ce qui me donne l'équation :
X'(t) = A(t) * X(t) + B(t)

on remarque que det(A-;)I)=;)^2 + (f/m);) + (k/m)
Ce qui est le polynome caractéristique du mouvement.


Le problème c'est que ce polynôme doit être égale à zéro pour que cela corresponde à nos conditions mais apparement, la matrice n'est pas diagonalisable si ce polynome est égal à zéro.

Je suis complètement bloquée, surtout que l'exponentielle d'une matrice reste encore très flou pour moi.

Merci d'avance pour votre aide. (j'espère que les matrices seront compréhensible, je n'ai pas trouvé de solution pour les transcrire sur le forum)

[Robic]

Bonjour ! Je pense que tu te trompes lorsque tu dis que la matrice n'est pas diagonalisable si le polynôme est égal à zéro. On cherche les valeurs de pour lesquelles ce polynôme est nul, ce sont les valeurs propres, et ensuite, la matrice est diagonalisable si la somme directe des sous-espaces propres donne .

Par contre, le calcul des valeurs propres est assez pénible. Il n'y a pas de simplifications... Tu es obligé de résoudre ça en calcul littéral ? (Pour essayer, j'ai regardé ce qui se passe dans le cas particulier où il y a une seule valeur propre, alors le sous-espace propre est de dimension 1 donc ce n'est pas diagonalisable).

[MargauxG]

Bonjour ! Je pense que tu te trompes lorsque tu dis que la matrice n'est pas diagonalisable si le polynôme est égal à zéro. On cherche les valeurs de pour lesquelles ce polynôme est nul, ce sont les valeurs propres, et ensuite, la matrice est diagonalisable si la somme directe des sous-espaces propres donne .

Par contre, le calcul des valeurs propres est assez pénible. Il n'y a pas de simplifications... Tu es obligé de résoudre ça en calcul littéral ? (Pour essayer, j'ai regardé ce qui se passe dans le cas particulier où il y a une seule valeur propre, alors le sous-espace propre est de dimension 1 donc ce n'est pas diagonalisable).

Le problème c'est que si mon polynome est égale à zéro, je n'ai qu'une seule racine donc qu'une seule valeur propre et je n'ai plus de matrice 2*2

[Robic]

Mais non ! Si le polynôme égale zéro, ça veut juste dire qu'on a trouvé une racine (une valeur propre). Reste à trouver l'autre.

Mais tu en es où ? Tu as calculé les deux valeurs propres ?

[spike0789]

Bonjour,

Effectivement, Robic a parfaitement raison : ton polynôme n'est pas égale à zéro, mais les racines correspondent aux valeurs propres.
Dans l'énoncé quand tu écris g*cos(x)*cte, es-tu sûre qu'il s'agit bien de x dans le cos et non un angle ? (en terme d'homogénéité, c'est un peu dérangeant et surtout ta matrice B dépendant de x, le système n'est pas linéaire...)

La question qu'on se pose est : est-ce que tu as des informations supplémentaires sur f, k et m ? (une (in)égalité les reliant, comme par exemple f^2>=4km?)

[MargauxG]

Bonjour,

Effectivement, Robic a parfaitement raison : ton polynôme n'est pas égale à zéro, mais les racines correspondent aux valeurs propres.
Dans l'énoncé quand tu écris g*cos(x)*cte, es-tu sûre qu'il s'agit bien de x dans le cos et non un angle ? (en terme d'homogénéité, c'est un peu dérangeant et surtout ta matrice B dépendant de x, le système n'est pas linéaire...)

La question qu'on se pose est : est-ce que tu as des informations supplémentaires sur f, k et m ? (une (in)égalité les reliant, comme par exemple f^2>=4km?)

oui jai deux valeurs propres pour le polynome : /lambda 1= (-f/2m) + racine (k/2m) et /lambda 2= (-f/m) - racine(k/m)
je trouve alors deux vecteurs :
Z1 = ( (-f/2m) + w0/2)^(-1)) L1Z1 (1) L2Z1

Z2=(1)L1Z2 ( (-f/2m)-w0/2) L2Z2

ce qui me donne une matrice S= ((-f/2m) + w0/2)^(-1)) 1) L1S
(1 (-f/2m)-w0/2 ) L2S

(encore une fois désolée pour la présentation des matrices, je n'ai toujours pas trouvé comment les présenter.)


Et non il me faut le calcul littérale ... le k représente la constante de raideur d'un ressort et m une masse. Quant à cos(x) c'est que l'on a trouvé au moment de l'expression de l'équation du mouvement ...

[spike0789]

Dans le discriminant du polynôme, il y a du (f/m)^2, qui n'apparaît pas dans ta solution.

det(A-;)I)=;)^2 + (f/m);) + (k/m)
Donc Delta=(f^2-4km)/m^2

N'ayant pas d'informations complémentaires :

Si Delta = 0, alors ...
Si Delta > 0, alors...
Si Delta < 0, alors...

Et je te conseille de revoir la projection du poids sur l'axe en question pour ton terme en cos(x) car ce n'est pas homogène.

[spike0789]

Pour la suite,
dans le meilleur des cas (Delta>0), ta matrice est diagonalisable et il existe P et D (resp inversible et diag) telles que A=P(^-1)DP et tu poses Y=PX, soit Y'=PX'...

[MargauxG]

Dans le discriminant du polynôme, il y a du (f/m)^2, qui n'apparaît pas dans ta solution.

det(A-;)I)=;)^2 + (f/m);) + (k/m)
Donc Delta=(f^2-4km)/m^2

N'ayant pas d'informations complémentaires :

Si Delta = 0, alors ...
Si Delta > 0, alors...
Si Delta < 0, alors...

Et je te conseille de revoir la projection du poids sur l'axe en question pour ton terme en cos(x) car ce n'est pas homogène.

effectivement, j'ai confondu, il n'y pas de cos(x)*cste
on a posé w0=racine de (k/m) ce qui donne un delta un peu plus simple : =(;)/;))^2;)4;)0²

[spike0789]

Très bien.
N'ayant pas de valeurs numériques ou de relations, je pense qu'il faut se lancer dans la disjonction de cas.

[MargauxG]

Le plus urgent, c'est de résoudre l'équation quand le polynôme vaut zéro. Je ferais les deux autres cas si j'ai le temps.
Je n'ai pas très bien compris pourquoi il fallait determiner trois autres matrices telles que A=S^(-1)*D*S. En quoi cela aide-t-il à l'exponentiel de la matrice ?
Je suis désolée, ce n'est pas au programme cette année, j'ai fait des recherches sur internet mais ça reste toujours très flou pour moi.

[Robic]

Tu veux dire « c'est de résoudre l'équation quand le discriminant vaut zéro » ? Ou alors tu n'as pas compris la méthode (il faut résoudre l'équation quand le polynôme admet deux racines, la résoudre quand il en admet une, et la résoudre quand il n'en admet aucune, et non pas résoudre l'équation quand le polynôme est nul puis quand il est non nul).

J'ai regardé l'autre jour ce qui se passait quand le polynôme n'avait qu'une racine (discriminant nul) et j'ai trouvé que la matrice n'était pas diagonalisable. Dans ce cas il faut la trigonaliser.

Sinon, concernant l'exponentielle de matrice, en pratique on ne l'utilise pas : on fait un changement de base pour se ramener aux sous-espaces propres et ainsi avoir une matrice diagonale (ou triangulaire). Les matrices et dont parlait Spike sont les matrices de passages d'une base à l'autre. Si tu n'as pas vu ces techniques, il faut passer du temps pour les apprendre, c'est un vrai gros chapitre d'algèbre linéaire.

[MargauxG]

Tu veux dire « c'est de résoudre l'équation quand le discriminant vaut zéro » ? Ou alors tu n'as pas compris la méthode (il faut résoudre l'équation quand le polynôme admet deux racines, la résoudre quand il en admet une, et la résoudre quand il n'en admet aucune, et non pas résoudre l'équation quand le polynôme est nul puis quand il est non nul).

J'ai regardé l'autre jour ce qui se passait quand le polynôme n'avait qu'une racine (discriminant nul) et j'ai trouvé que la matrice n'était pas diagonalisable. Dans ce cas il faut la trigonaliser.

Sinon, concernant l'exponentielle de matrice, en pratique on ne l'utilise pas : on fait un changement de base pour se ramener aux sous-espaces propres et ainsi avoir une matrice diagonale (ou triangulaire). Les matrices et dont parlait Spike sont les matrices de passages d'une base à l'autre. Si tu n'as pas vu ces techniques, il faut passer du temps pour les apprendre, c'est un vrai gros chapitre d'algèbre linéaire.

Je ne sais pas ce qu'est "trigonaliser" ... On a jamais travailler avec autre chose que des matrices carrées ...Je ne vois pas non plus le rapport avec l'exponentielle et le changement de base. Mes connaissances sur les matrices sont relativement basiques, je ne sais vraiment comment je vais faire pour résoudre ça.

[Robic]

Justement, il y a un problème : on te demande de faire quelque chose que tu ne sais pas faire, c'est bizarre. Je ne veux pas être indiscret, mais c'est dans quel contexte ? Est-ce que la résolution de systèmes différentiels a été vue l'année précédente mais tu n'étais pas là ?

(Oublie l'exponentielle, en pratique on ne l'utilise pas.)

[MargauxG]

Justement, il y a un problème : on te demande de faire quelque chose que tu ne sais pas faire, c'est bizarre. Je ne veux pas être indiscret, mais c'est dans quel contexte ? Est-ce que la résolution de systèmes différentiels a été vue l'année précédente mais tu n'étais pas là ?

(Oublie l'exponentielle, en pratique on ne l'utilise pas.)

C'est ce qu'ils appellent un projet scientifique. on étudie l'équation du mouvement d'une suspension de voiture (simplifié), les profs nou ont demandé de résoudre l'équation à l'aide de matrice et nous ont bien fait comprendre qu'ils nous attendaient surtout au niveau mathématique. Manque de chance, cette méthode de résolution n'est pas au programme cette année (1ère année, avant nous étions en terminal...).
Je désespère un peu là, les cours sur internet ne m'aide pas tant que ça.

[Robic]

Il faudrait que tu en parles aux profs, parce que pour moi il n'y a qu'une solution : apprendre deux chapitres (voire trois) - qui supposent d'avoir déjà suivi un cours d'algèbre linéaire (rang, familles libres et génératrices, etc.) :
- diagonalisation d'une matrice ;
(- trigonalisation d'une matrice <-- si le discriminant peut être nul
- application à la résolution de systèmes linéaires.

Avec Google j'ai trouvé ça :
- http://secame.univ-lille1.fr/cours/cours2_a/calcul_matriciel_chapitre_5.pdf
- http://c.caignaert.free.fr/sl-chapitre17-04.pdf (uniquement le premier paragraphe)
- http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Equati ... stants.pdf

Si tu n'as pas vu assez d'algèbre linéaire pour déterminer une base de vecteurs à partir de l'équation (ou des équations) du sous-espace ou pour connaître les liens entre dimension, rang et compagnie, là il faut commencer par le début, et ce n'est pas possible...

(Au fait, y a-t-il des liens entre f, k et m ? Où sont-ils vraiment quelconques ?)

[MargauxG]

Il faudrait que tu en parles aux profs, parce que pour moi il n'y a qu'une solution : apprendre deux chapitres (voire trois) - qui supposent d'avoir déjà suivi un cours d'algèbre linéaire (rang, familles libres et génératrices, etc.) :
- diagonalisation d'une matrice ;
(- trigonalisation d'une matrice <-- si le discriminant peut être nul
- application à la résolution de systèmes linéaires.

Avec Google j'ai trouvé ça :
- http://secame.univ-lille1.fr/cours/cours2_a/calcul_matriciel_chapitre_5.pdf
- http://c.caignaert.free.fr/sl-chapitre17-04.pdf (uniquement le premier paragraphe)
- http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Equati ... stants.pdf

Si tu n'as pas vu assez d'algèbre linéaire pour déterminer une base de vecteurs à partir de l'équation (ou des équations) du sous-espace ou pour connaître les liens entre dimension, rang et compagnie, là il faut commencer par le début, et ce n'est pas possible...

(Au fait, y a-t-il des liens entre f, k et m ? Où sont-ils vraiment quelconques ?)

On a vu les bases sur l'algèbre linéaire, donc tout ce qui est espaces vectoriels, bases, rang etc, ça va.
Lorsque le discriminant est nul, on a f=k (régime critique) mais lorsque le discriminant est nul, je n'ai qu'une seule valeur propre, et je ne trouve rien dans les cours pour ce cas là ...


j'avais trouvé un site pour résoudre mon équation : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/lequadif/lequadif.htm (vers la fin de la page, paragraphe V), cependant, ils utilisent l'exponentielle. Il y a des passages assez flou dans leur exemple.

[Kevinklein]

slt , j'ai un petit problème avec un excercice de math donc j'aimerais bien que vous m'aidiez. L'excercice dit ceci:
On considère l'équation différentielle (E): y’-2y=(-2)/(1+e-2x)
Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0)=ln2 et g la fonction definie sur R par g(x)=f(x)/e2x.
1. Calculer f'(x) en fonction de g(x) et de g'(x).
2. Montrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si g'(x)=(-2e-2x)/(1+e-2x)