Equation matricielle

[SuperPoule]

Bonjour,

Je suis tombé sur cette question (niveau au plus bac +2) :
Soient des nombres réels tels que .
On considère alors la matrice .
Existe-t-il une matrice telle que ?
Auriez-vous une piste s'il vous plaît ?

[Ben314]

Salut,
Si on note et les matrices telles que , que valent
(où et sont deux réels) ?

[SuperPoule]

Bonjour Ben314 et merci pour ta réponse.
et
On a alors :
et (donc et commutent)
donc :

donc :

Mais j'avoue ne pas voir où cela mène...

[tournesol]

M matrice symétrique réelle donc diagonalisable sur R
M est une puissance 4 ssi ses valeurs propres sont positives
Il ne reste plus qu'à calculer le polynôme caractéristique.

[GaBuZoMeu]

Je rédigeai mon message pendant que tournesol a posté. Je le poste tout de même car il y a une différence notable : aucun besoin de se casser la tête à calculer un polynôme caractéristique !

Bonjour,
Une autre piste : est symétrique réelle, donc diagonalisable.
Quelles sont ses valeurs propres ? Quelques observations :
Quel est le rang de ? La réponse nous donne une valeur propre double.
Une troisième valeur propre (avec un vecteur propre associé) est assez évidente.
Pour la quatrième, on peut se souvenir que la somme des valeurs propres est la trace.
L'hypothèse intervient alors pour nous assurer l'existence d'une racine quatrième de la matrice ( et même d'une racine huitième, seizième etc.).

[SuperPoule]

Super, merci beaucoup !
J'ai trouvé le spectre, c'est bon.
Encore merci à vous

[tournesol]

la valeur propre évidente est 2(a+b) avec le vp (1,1,1,1) mais par la trace on obtient la valeur propre 2(a-b) qui est négative...

[GaBuZoMeu]

Tu as raison. J'avais lu l'inégalité dans l'autre sens, alors qu'elle est bien écrite ! Donc, pas de racine carrée et a fortiori pas de racine quatrième.

[SuperPoule]

M matrice symétrique réelle donc diagonalisable sur R
M est une puissance 4 ssi ses valeurs propres sont positives
Il ne reste plus qu'à calculer le polynôme caractéristique.

Excusez-moi de poser la question mais j'ai un doute .
Lorsque est symétrique réelle, je vois parfaitement pourquoi :
Si alors est un carré,
mais comment montre-t-on la réciproque ?

[Ben314]

Salut,
Tout dépend de ce que tu appelle "la réciproque" :
Si c'est le fait que le carré d'une matrice diagonalisable réelle a forcément ces valeurs propres positives, c'est une évidence.
Si c'est le fait que le carré d'une matrice réelle quelconque a forcément ces valeurs propres positives, ben là, c'est évident que c'est faux, par exemple (qui correspond, dans à )

[SuperPoule]

Bonjour Ben314,

Je ne parle pas du premier cas qui est évident.
C'est par rapport à la phrase de tournesol lorsque M est symétrique réelle, il a écrit "M est une puissance 4 ssi ses valeurs propres sont positives".

Sous l'hypothèse M est symétrique réelle :
1 )" Les valeurs propres de M sont positives => M est une puissance 4", est évident
2) "M est une puissance 4 => Les valeurs propres de M sont positives".

Comment prouve-t-on le 2) ?

[Ben314]

Ben.... j'ai déjà répondu...
est-elle
1) symétrique réelle ?
2) une puissance quatrième ? (le complexe -1 est-il la puissance quatrième d'un autre complexe ?)
3) à valeur propres positives ?

[tournesol]

J'ai l'impression de m'être bien planté.
Mon raisonnement est à reconsidérer.
Merci Ben314

[Ben314]

Moi, je m'était planté dans la sens de l'inégalité entre x^2+y^2 et 2xy . . .
Bref, si c'était a>b>0, il y aurait plein de façon de montrer que la réponse est "oui", mais là, c'est un peu moins évident.
Sauf que, si M est le carré de N, une des valeurs propres (complexes) de N doit être un imaginaire pur pour que son carré soit un réel négatif, mais comme N est réelle, le conjugué (donc l'opposé) de cette valeur propre doit aussi être valeur propre de N ce qui signifie que la valeur propre négative de M doit être double (comme dans le contre exemple ci dessus)

[SuperPoule]

Bonjour et merci beaucoup à vous trois pour vos réponses.
J'essaie de résumer un peu parce que j'ai l'impression que ma question initiale est encore sans réponse (mais c'est peut-être moi qui n'ai pas bien compris vos réflexions).

1) est symétrique réelle donc diagonalisable.

2) et avec

3) Si le spectre était inclus dans alors on aurait facilement que admet une racine quatrième (mais ici le spectre n'est malheureusement pas inclus dans donc on ne peut rien dire à priori)
Est-ce que quelque chose m'a échappé ?

4) Sinon, Ben314, concernant ta toute première réponse avec , que fallait-il conclure ?

5) Enfin, sans doute une question très bête, mais : Avec
Je vois parfaitement que , mais réciproquement : une valeur propre de est-elle nécessairement un carré d'une valeur propre de ?

[GaBuZoMeu]

Oui, il t'a échappé qu'il n'y a pas de matrice telle que . Ça a déjà été dit, expliqué par Ben314. Je redonne une explication légèrement différente.
S'il y avait une telle matrice , elle commuterait avec et donc la droite propre pour associée à la valeur propre de serait stable par . Donc serait aussi une droite propre pour de valeur propre associée vérifiant : absurde.

Pour ce qui est de ta dernière question, tu peux mettre sous forme triangulaire (sur ), et alors tu vois que les valeurs propres de sont exactement les carrés des valeurs propres de .

[SuperPoule]

Pour ce qui est de ta dernière question, tu peux mettre sous forme triangulaire (sur ), et alors tu vois que les valeurs propres de sont exactement les carrés des valeurs propres de .

Merci beaucoup, c'est cette dernière étape que je n'avais pas saisi et qui me permet de comprendre tout le reste.
Bien cordialement

[Ben314]

4) Sinon, Ben314, concernant ta toute première réponse avec , que fallait-il conclure ?

En fait directement, rien : je me suis gouré dans le sens de l'inégalité.
L'idée, c'était, partant du fait que , de résoudre et ce qui est très simple (en passant pas et ) pour déterminer des racines carrées de M puis de réutiliser la même méthode pour déterminer les racines carrées des racines carrés de M.
Sauf que ça marche pas vu que le système et n'a de solution (réelles) que lorsque et sont positifs.
Et vu que ça prouve uniquement que M n'a pas de racine carré de la forme xA+yB, ça ne permet pas de conclure.
A la limite, on peut noter que, si M admettait 4 valeurs propres (réelles ou complexes) distinctes, l'absence de racine carrées de la forme xA+yB serait suffisant pour en déduire l'absence de racine carrée tout court. Pourquoi ?

[Ben314]

Pour ce qui est de ta dernière question, tu peux mettre sous forme triangulaire (sur ), et alors tu vois que les valeurs propres de sont exactement les carrés des valeurs propres de .

Autre option (par exemple si on ne connait pas la théorie de la triangularisation) :
Montrer (avec la définition) que, si P est le polynôme caractéristique de , alors celui de est puis regarder ce que ça donne dans le cas où on a une factorisation de .

[SuperPoule]

Merci pour ces deux compléments Ben314. Tout est parfaitement clair maintenant !