Equation différentielle VERY DIFFICULT

par **Sylar** » 27 Juil 2007, 03:01

Bonsoir, voila un exercice dont j'aimerai savoir si quelqu'un d'entre vous a une solution:

On considère l'équation différentielle a coefficiants continus sur R:

x''(t)+p(t).x'(t)+q(t).x(t)=0

Trouver que condition nécessaire portant sur p et q tel qu'il existe 2 solutions sur R dont le produit vaut constemment 1...

Good luck...........

par **nuage** » 27 Juil 2007, 08:31

Salut,
l'énoncé est un peu imprécis.
Je crois qu'il te faut un peu plus qu'une condition nécessaire.
Mais si ça te suffit en voici une : p et q doivent-être définies sur R.

par **alben** » 27 Juil 2007, 10:34

bonjour,
Je ne sais pas si ça avance mais si

sont les deux solutions, on doit avoir

pour satisfaire la condition

par **nuage** » 27 Juil 2007, 11:06

Et j'ai bien l'impression qu'une condition nécessaire plus intéressante est q=0.

modification : ce qui précède est faux

Elle est d'ailleurs suffisante sous réserve de condition sur le domaine de définition.

par **cesar** » 27 Juil 2007, 11:40

j'arrive à une condition : x'^2 + q.x^2 = 0 donc q<0 ou nul et dans le cas q=0, on a x=constante et p quelconque.. en poussant plus loin on arrive à :
x'.(1/x)' = q soit le produit des derivées deux solutions x1 et x2 est q :
x1'.x2'=q, mais on le savait dejà

par **Pythales** » 27 Juil 2007, 15:23

On arrive comme Cesar à

soit

Prenons d'abord le signe + :

soit

et en portant dans l'équation initiale : -

soit, pour

non nul :

Je te laisse étudier le cas du signe -

par **Sylar** » 27 Juil 2007, 17:12

Merci,

mais comment arrives -tu a : q.x^2+x'^2=0 ?

par **Pythales** » 27 Juil 2007, 17:26

Tu poses

, tu calcules

et

, tu portes dans l'équation, et avec un peu de calculs tu aboutis à la relation.

par **cesar** » 27 Juil 2007, 19:51

Pythales a écrit:On arrive comme Cesar à soit
Prenons d'abord le signe + :
soit
et en portant dans l'équation initiale : - soit, pour non nul :
Je te laisse étudier le cas du signe -

je vais essayer de voir si on peut encore améliorer..

par **cesar** » 27 Juil 2007, 21:09

Pythales a écrit:On arrive comme Cesar à soit
Prenons d'abord le signe + :
soit
et en portant dans l'équation initiale : - soit, pour non nul :
Je te laisse étudier le cas du signe -

j'ai rencontré un probleme : je trouve

au lieu de

1/2 apparait quand on derive racine de -q dans le calcul de X"

si quelqu'un peut verifier s'il trouve comme moi (ou non), ce serait sympath..

par ailleurs, en supposant que

je suis arrivé à un resultat interessant : on trouve la forme des solutions x1 et x2, ainsi que celle de p et de q...mais il faut d'abord s'assurer que

ou

est juste. :help:
j'ai par ailleurs introduit un coef ep = + 1 ou -1 afin de faire le calcul pour les deux cas . il apparait que le coef ep se simplifie pendant le calcul. l'équation trouvée est independante du choix de la racine de -q...

par **alben** » 27 Juil 2007, 22:48

cesar a écrit:j'ai rencontré un probleme : je trouve au lieu de

1/2 apparait quand on derive racine de -q dans le calcul de X"
si quelqu'un peut verifier s'il trouve comme moi (ou non), ce serait sympath..

Oui, Pythales est étourdi...

par **cesar** » 28 Juil 2007, 06:47

on suppose donc que q' + 2pq = 0
correction : je viens de trouver un cas particulier tout bete : p=0, q= cte
l'equation devient : x"+qx=0
x1 = k1.exp(kt) et x2 = 1/k1.exp(-kt),...avec k tel que k^2+q = 0...

par **Pythales** » 28 Juil 2007, 08:58

Il manque en effet un 2

par **Pythales** » 30 Juil 2007, 14:21

Si je cherche la relation entre

et

pour que l'équation ait 2 solutions liées par

, je pose :

et

ce qui me donne

soit, en multipliant par

et/ou

et en additionnant/soustrayant

et

en éliminant

entre ces 2 équations, je trouve comme par hasard

Pourquoi ?
Bonne question ...

par **alben** » 31 Juil 2007, 06:03

Pythales a écrit:Si je cherche la relation entre et pour que l'équation ait 2 solutions liées par , je trouve comme par hasard
Pourquoi ?
Bonne question ...

Oui ça veut dire que la condition q'+2pq=0 est nécessaire mais n'est pas suffisante. En posant

et

, on ne nuit pas à la généralité si l'on se place dans C ?.
En développant comme tu l'as fait, on aboutit aux équations
[g'(t)]²+q(t)=0 et g"(f)+p(t)=0.
En remplaçant g'² et g" dans l'une des équations de départ ça donne p(1-g')=0
dont les solutions sont p=0 ou g'=1 (cette dernière condition implique que g"=0 et donc p=0).
Ainsi, il faut que p=0, ce qui veut dire que g"=0, donc que g'=constante et q également.
Ainsi, la condition nécessaire et suffisante ce serait que l'équation soit de la forme x"+qx = 0 avec q constante.

Edit : C'est à revoir plus finement p et g' sont des fonctions et l'on ne ne peut dire aussi rapidement que l'on a soit p identiquement nul, soit g'=1 partout.
PS : il est précisé dans l'énoncé que p et q sont continues, donc si p n'est pas identiquement nul, il existe un intervalle non vide sur lequel p ne s'annule pas et sur lequel g'=1, donc g"=0 et finalement p=0... donc ça marche.

par **Pythales** » 31 Juil 2007, 11:13

Il y a, à mon avis, une autre explication

par **alben** » 31 Juil 2007, 12:12

Pythales a écrit:Il y a, à mon avis, une autre explication

Oui, bien sûr. Si

alors

sont également solutions et vérifient

.
Autrement dit (x1,x2) et (y1,y2) engendrent la même famille de solutions.
Mais ça ne retire rien à ce que j'ai écrit. Je cherche un contre-exemple

par **Pythales** » 31 Juil 2007, 13:30

Oui, c'est ça. Il faut raisonner sur les combinaisons linéaires

et

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