Equation différentielle

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 22:34

Bonjour, je bloque sur une équation et j'aimerai un peu d'aide, en effet dans celle-ci il y a un x de chaque coté donc je saisi pas de trop, l'équation est la suivante :

y' + (1- 1/x )y = x

Merci d'avance pour votre aide

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 22:44

Commence par résoudre l'équation homogène associée puis cherche une solution particulière (ou utilise la méthode de "variation de la constante")

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 22:53

Je suis d'accord pour l'équation homogène

pour moi je fais
y' + (1 - 1/x )y = 0

Ca donne
y0 = (A + B ) exp(1-1/x)
Non? c'est surment pas ça je vois pas comment débuter

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 22:59

pour les équations homogènes du premier ordre, il faut se débrouiller pour obtenir : y'/y=fonction de x
puis on prend les primitives des deux cotés (qui sont égales à une constante prs)

P.S. la solution que tu propose serait valable si les coefficients étaient constants, sauf que là... ils sont pas constants...

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:04

Ah je vois donc ici
y'/y = -1 + 1/x
la primitive de -1 + 1/x ===> - x + lnx

Je fais quoi pour la suite ?

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 23:09

Et une primitive de y'/y, c'est quoi ?

(si tu travaille sur R tout entier, c'est aussi plus joli de dire qu'une primitive de 1/x est ln(|x|) avec une valeur absolue, mais c'est pas super grave...)

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:12

Je pense que c'est ln|y| quasiment sur même ^^

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:14

On continue comme ça :
y = exp(-x) + x ?

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 23:15

Nickel chrome
Tu as donc ln(|y|) = -x + ln(|x|) + Constante (à ne pas oublier)
Et maintenant il ne te reste plus qu'à en déduire y puis à chercher une soluce particulière (si elle ne te "saute pas aux yeux" => variation de la constante)

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:24

Je sais que ma réponse doit être de la forme

y= K exp(-F(x)) Donc ici j'ai déja un exp donc ça me gène un peu

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 23:29

Bon, j'ai un peu raté un épisode....
Mon "nickel chrome", c'était pour ton post #7...
Pour le #8, ca ne va pas : l'exponentielle d'une somme c'est le produit des exponentielles.
Ta soluce est :
y = [plus ou moins] exp(-x + ln(|x|) + Constante) [qui est bien de la forme dont tu parle dans le post #10]
Mais il faut le simplifier en écrivant
y = exp(-x).x.cste (ou les . sont des multiplications)

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:35

Aller je me lance:
Donc si j'ai bien compris j'ai:
y = Kxexp(x) + Cste ?

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:39

euh plutôt .Cste et non pas + Cste

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 23:39

Spirounet a écrit:y = K x exp( - x)

Il n'y a qu'une seule constante K : quand tu as pris l'exponentielle, toutes les additions sont devenues des multiplications : exp(a+b)=exp(a)*exp(b) (et l'exponentielle d'une constante est... une constante !!!)

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:44

J'en suis à
y = x.exp(-x).cste

par **Spirounet** » 27 Jan 2010, 23:48

Désolé si j'ai un peu de mal, ça peut paraitre bizarre mais je suis plus à l'aise avec celle du 2nd ordre

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