équation différentielle

par **log86** » 09 Juin 2008, 07:31

Bonjour j'ai un exercice sur les équations différentielles qui me posent des problèmes. Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Le but de l'exercice est de déterminer les fonctions f définies et dérivables sur l'ensemble R et vérifiant pour tout réel x l'équation :

Quand j'ai mis une * c'est ce que je répondrais; merci

1) Démontrer que la fonction nulle est solution de cette équation
* f:x->0 ; f'(x)=0 quelque soit x et f(-x) = 0 donc la fonction nulle est solution

2) Dans cette question et les suivantes , la fonction f est supposée non identiquement nulle.
Après avoir prouvé que f est deux fois dérivable, trouver une équation linéaire du second ordre (E') admettant f comme solution.
*je ne sais pas pourquoi on peut dire que f est 2 fois dérivable. Pour l'équation je dirais

3)a) Résoudre (E')
*c'est là que je bloque car si c'est bien

je ne sais pas comment résoudre cette équation car il y a un signe - dans la fonction : f'(-x) me gêne

b) En déduire les fonctions f solutions de (E)
*il faudra que j'intègre la solution trouvée à la question précédente.

Merci d'avance pour votre aide

par **mathelot** » 09 Juin 2008, 07:58

log86 a écrit: *je ne sais pas pourquoi on peut dire que f est 2 fois dérivable. Pour l'équation je dirais

f est deux fois dérivable pour les mêmes raisons qui t'ont permis
d'écrire cete formule de dérivation.

log86 a écrit: *c'est là que je bloque car si c'est bien je ne sais pas comment résoudre cette équation car il y a un signe - dans la fonction : f'(-x) me gêne

Calculer f '(-x) en fonction de f.

par **log86** » 09 Juin 2008, 19:13

Bonsoir mathelot, merci de ton aide
alors j'ai

mais d'après

donc

c'est

c'est bien çà?

par **log86** » 09 Juin 2008, 19:50

je veux donc résoudre

je calcule les racines du polynôme

, je trouve -1 et 0 donc les solutions de (E') sont les fonctions g(x)=K1 exp(-x) + K2 où K1 et K2 sont des constantes
or on sait que (E') admet f' comme solution donc f'(x)=g(x)
donc f(x)=xK2-K1exp(-x)
mais le problème c'est que si je vérifie avec (E) çà ne marche pas
- xK2-K1exp(x) n'est pas égale à K2+K1exp(-x)

est ce que vous voyez où je me trompe s'il vous plait
merci

par **Sa Majesté** » 09 Juin 2008, 19:52

Ici :

En fait c'est

par **log86** » 09 Juin 2008, 20:09

Bonsoir merci de votre réponse
tu utilises (E) pour dire que

?
mais pourquoi il n'y a plus de signe - ?
Parce que je voudrais mettre

soit

c'est pas çà?

je viens de me rendre compte que c'était f qui était solution de (E') et non f' donc pas besoin d'intégrer comme je voulais le faire

par **Sa Majesté** » 09 Juin 2008, 20:14

Oui c'est ça
Tu sais que pour tout réel x

Donc pour tout réel x

par **log86** » 09 Juin 2008, 20:23

Merci et désolé le signe - n'était pas apparu sur le message quand je l'ai lu la première fois mais maintenant oui !

j'ai encore une dernière question s'il vous plait , pourquoi le raisonnement que j'ai fait dans le message plus haut est faux?
pourquoi je ne peux pas considérer l'équation

avec le raisonnement que j'ai fait mais sans prendre la primitive puisque f est solution de (E') ; pourquoi f(x)=K1 exp(-x) + K2 ne marche pas ?
merci

par **Sa Majesté** » 09 Juin 2008, 20:29

Elle ne marche pas parce que ce n'est pas la bonne équation

La bonne équation c'est

et non pas

Du coup, il faut passer par

pour trouver la transformer en une équation qu'on sait résoudre

par **log86** » 09 Juin 2008, 20:34

Merci beaucoup pour votre réponse,j'ai compris mon erreur ! je me suis un peu emmêlé les pinceaux avec les fonctions!
merci et bonne soirée

par **log86** » 10 Juin 2008, 11:32

Bonjour excusez moi mais je suis encore bloqué sur mon exercice.
Je considère donc que mon équation (E') est

je cherche les racines de l'équation

je trouve

et

donc

soit

non?

mais si j'essaye de remplacer dans (E)

et

donc ce n'est pas égale sauf si K1= K2
alors est-ce que les solutions de (E) sont les fonctions f telles que

?

mais si c'est bien çà est-ce que ce n'est pas un problème que je ne trouve pas les mêmes fonctions f solutions de (E') et (E) ( car dans (E') K1 n'est pas forcément égal à K2)
merci pour votre aide

par **Sa Majesté** » 10 Juin 2008, 19:56

Dans la question 2 tu montres que si f est solution de (E) alors elle est solution de (E') c'est-à-dire que l'ensemble des solutions de (E) est inclus dans l'ensemble des solutions de (E').
Mais une fonction peut être solution de (E') sans être solution de (E).

par **log86** » 10 Juin 2008, 20:09

Bonsoir Sa Majesté , merci encore pour vos explications !
Est ce que ce que j'ai fait est bon ? je veux dire est ce que ce sont les bonnes fonctions f ? je pense maintenant qu'avec ce que vous venez de me dire c'est possible.
Merci

par **Sa Majesté** » 10 Juin 2008, 21:23

Oui c'est bon
f(x) = K(cosx+sinx)

par **log86** » 11 Juin 2008, 06:30

Bonjour Sa Majesté merci pour toutes vos réponses ! j'ai appris des choses, que je pense j'aurais dù savoir...mais vraiment merci
bonne journée

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