Equation différentielle

[C.F]

Bonjour!
Je veux résoudre l'équation différentielle suivante:

x²y''-5xy'+9y=0

Je dois montrer qu'il existe u:]0;+00[-->R 2 fois dérivables tel que y(x)=x^3U(x).
Je ne sais pas trop ce que je dois faire, est ce que quelqu'un pourrait m'indiquer la démarche que je dois suivre?

[JJa]

Bonjour,

x²y''-5xy'+9y=0 : L'équation (E1) est homogène, donc très facile avec la méthode classique pour ce genre d'équations (chercher des solutions de la forme x^k, calculer les deux valeurs de k)
.
x(x+1)y"-2y'-y=0 : L'équation (E2) a peut-être été mal recopiée car les solutions ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles en nombre fini (équation du genre hypergéométrique). S'il n'y a pas eu d'erreur de recopie, chercher les solutions sous la forme d'une série infinie:
y = sigma((a_k)*(x^k))
Calculer les coefficients (a_k) par récurrence (C'est faisable, mais la formule obtenue n'est pas simple : en fait, cela revient au même que le développement en série de fonctions hypergéométriques)

Note : l'équation (E2) était dans la question avant que C.F. ne la modifie.

[C.F]

D'accord,merci bcp et concernant :
x²y''-5xy'+9y=0

J'ai réussi à montrer que y est soluton si y=(a+b)x^3 (on doit avoir une solution de dimansion deux).
Je dois montrer qu'il existe u:]0;+00[-->R 2 fois dérivables tel que y(x)=x^3U(x).
Je ne sais pas trop ce que je dois faire, (pourtant je sais que la solution est de cette forme) est ce que vous pouvez m'aiguiller?

[JJa]

y = (x^3)*U
y' = ?
y''= ?
0 = x²y''-5xy'+9y = (?)*U'' +(?)*U'+(?)*U
U''/U' = ?
ln(U') = ?
U' = ?
U = ?
y = ?