Equation différentielle

[C.F]

Bonjour,je dois résoudre l'exercice suivant:

* Soit A qui appartient aux matrices Mn(R) tel que (A+2Id)^3=0. Donnez les solution de l'équation X'=AX. [Utilisez l'exponentielle de matrice].
*Soit A qui appartient aux matrices Mn(R) nilpotente,montree que toutes les solutions de l'équation X'=AX sont polynomiale [même indication].[/I]

Voilà ce que j'ai fait :
En résolvant l'équation je trouve que X=K*(1/2)* exp(A²/2). Cette réponse correspond à la seconde partie de l'exercice,est ce bien ça?
En ce qui concerne la première partie je n'arrive pas à trouver une réponse différentre de celle de la seconde,je pense que je n'utilise pas comme il le faut (A+2Id)^3.

Pouvez-vous m'aider?

[Maxmau]

Bonjour,je dois résoudre l'exercice suivant:

* Soit A qui appartient aux matrices Mn(R) tel que (A+2Id)^3=0. Donnez les solution de l'équation X'=AX. [Utilisez l'exponentielle de matrice].
*Soit A qui appartient aux matrices Mn(R) nilpotente,montree que toutes les solutions de l'équation X'=AX sont polynomiale [même indication].[/I]

Voilà ce que j'ai fait :
En résolvant l'équation je trouve que X=K*(1/2)* exp(A²/2). Cette réponse correspond à la seconde partie de l'exercice,est ce bien ça?
En ce qui concerne la première partie je n'arrive pas à trouver une réponse différentre de celle de la seconde,je pense que je n'utilise pas comme il le faut (A+2Id)^3.

Pouvez-vous m'aider?

Bj

je ne comprends pas ta réponse
La solution de X' = AX est X = Exp(tA)X0 où X0 est une colonne arbitraire
question1
tu calcules d'abord Exp(t(A+2I)) en fonction de A et t et tu en déduis Exp(tA)

[C.F]

Bonjour,j'ai essayé d'utiliser l'indication que vous m'avez donné, cependant je suis encore bloquée.
Ce que je fais c'est:
*calculer le DL à l'ordre 2 de exp(t(2A+Id)),et aprés pour me ramenner à exptA je n'y arrive pas. Peut être je n'ai pas pris le bon chemin en utilisant le DL...


De plus je ne vois pas la différence avec la question deux.

Pouvez vous m'aider??

[Maxmau]

M étant une matrice carrée réelle ou complexe, on a par définition :
Exp(M) = ;)(n=0 à infini ; M^n/n! )
Dans le cas où M^3 =0 on a aussi : M^4 =0 , M^5 = 0 , etc..
D’où alors : Exp(M) = I + M + M²/2
Dans l’exo, on a donc: Exp(t(A+2I)) = I + t (A+2I) + t² (A+2I)²/2
D’autre part ; lorsque les matrices B et C commutent Exp(B+C) = Exp(B) Exp(C)
Donc ici : Exp(t(A+2I)) = Exp(tA) Exp(2tI) = Exp(2t) Exp(tA)
En rapprochant les 2 expressions de Exp(t(A+2I)) ci-dessus , tu trouves l’expression de Exp(tA) en fonction de t et A.

Pour la deuxième question, A étant nilpotente il existe un rang à partir duquel les puissances de A sont nulles. Par exemple : A^(k+1) = A^(k+2) = …..=0
On a alors : Exp(tA) = I + tA + t²A²/2! +…………+ t^kA^k/k!
Je te laisse conclure