Equation differentielle

[JLN37]

bonsoir !
voila j'ai un petit dm surr les equa dif' pr ces vacances. avec recherche de primitives, resolutions...bref
j'ai résolu l' ED suivante :
x.y'+(x-2).y=x-2

je trouve au passage f 'A' (x)= A.x².exp(-x) + 2 (A etant une constante)

puis la question d'apres est de montrer qu'il existe une seule fonction de R dans R tel que g soit solution de l'ED et g soit deux fois dérivable sur R avec (g 'a' )''(0)=2.a avec a un reel fixé.

je ne vois pas trop comment faire. faut il tout simplement dire que comme c'est solution, on a la meme forme que f(x) et si on le derive 2 fois et que l'on evalue en 0 on trouve 2a ??
merci pour vos indications.

[bitonio]

Oui je pense que ton raisonnement est correct. Elle est solution donc de cette forme, et en dérivant il n'y a qu'une possibilité à cause de la condition en 0 sur f''

[JLN37]

parfait. je te remerci.
le hic prochain...sur lequel je bloque est le suivant...

on suppose que f vérifie la relation : x.f'(x)=f(a-x)
montrer que f est solution de : x.(x-a).f''(x)+(x-a).f'(x)-f(x)=0

la je bloque un peu plus...encore merci !

[prody-G]

salut

On a x.f'(x)=f(a-x) donc en dérivant on obtient x.f''(x)+f'(x) = -f'(a-x).
En remplaçant x par a-x dans l'égalité précédente, on a (a-x).f'(a-x) = f(x)
Donc
D'où
=> x(x-a)f''(x)+(x-a)f'(x)-f'x)=0.

[JLN37]

yes. merci !