Pb d'équation différentielle

[Anonyme]

Bonjour si quelqu'un pouvait me donner le résultat de ces deux problèmes.
Merci d'avance

exercice:

Résoudre le problème de Cauchy suivant:

x'(t) = -2tx(t) + 4t et x(t0) = x0



exercice:

Soit, pour a différent de 0, la matrice A ( 0 1 )
a^2 0


1. calculer l'inverse de la matrice P = ( -1 1 )
a a
2. Résoudre le problème de Cauchy: X'(t) = AX(t) et X(0) = X0

[cesar]

pour le 1)

ce genre d'équation est du niveau de 1ere année.
la methode est toujours la même

a) on resout l'equation sans second membre.
x'+2tx=4t

soit x'+2tx = 0 (sans second membre)

soit x'/x = -2t d'où ln(x)=-t*t + cte et x = K*exp(-t*t) avec K contante.

ensuite on cherche un solution particuliere, en general par la methode de variation des constantes. Mais ici la solution particuliere est évidente.

une solution particuliere est x=2 (c'est aussi ce qu'on trouve avec la methode de variation des constantes)

donc la solution generale de l'équation est : x = 2 + k*exp(-t*t)
on determine K en faisant t=0 et x=x0.

si vous ne savez pas faire ce genre de gymnastique, je vous conseille de revoir vos cours : c'est de l'hyper classique...