Equation différentielle

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Frandom94
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Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 17:37

Bonjour !

Mon cours d'analyse comporte un exercice qui n'est pas corrigé et que je n'arrive pas résoudre :?

Pourriez-vous y jeter un coup d'œil ?

On considère l'équation différentielle .

1) Déterminer la fonction f dans l'écriture de la forme y'= f(t,y).

2) Montrer que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz ne sont pas vérifiées (il faut montrer que f n'est pas localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, ce que je ne sais pas faire ).

3) Déterminer une valeur de y0 et deux solutions de l'équation définie sur R et satisfaisant y(0) = y0. Je cale aussi sur cette question.

Merci beaucoup d'avance !

Frandom94.
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GaBuZoMeu
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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 03 Avr 2021, 17:48

Bonjour,

Ta fonction f est dérivable par rapport à y en dehors de y=0. Si f était lipschitzienne de rapport k par rapport à y au voisinage de 0, que pourrais-tu dire de sa dérivée par rapport à y au voisinage de 0 ?

Frandom94
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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 17:54

Pour être sûr, f est définie par f(t,y) = racine (abs( y(t)) tout simplement ?

Frandom94
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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 18:07

On suppose que f est lipschitzienne de rapport k par rapport à y sur un voisinage de 0. Alors la dérivée de f par rapport à la variable y est bornée sur ce voisinage, ce qui est absurde car f n'est pas dérivable en 0 (taux de variation infini, si je ne me trompe pas). Absurde, d'où le résultat ! Le fait d'avoir une fonction de R X R dans R me perturbe un peu en fait...

Est-ce que tu aurais une ou deux indications pour le point 3 ?

Merci beaucoup de ton aide. :D

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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 03 Avr 2021, 20:16

Frandom94 a écrit:Pour être sûr, f est définie par f(t,y) = racine (abs( y(t)) tout simplement ?

J'écrirai plutôt ( ne dépend pas de ).

Oublie la valeur absolue (ce qui n'est pas trop gênant si tu prends ). Alors n'est pas trop dur à intégrer (c'est une équation à variables séparables). Je vois alors deux solutions avec

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mathelot
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Re: Equation différentielle

par mathelot » 03 Avr 2021, 20:32

bonjour,
pour trouver une solution non identiquement nulle:



on suppose



(*)
on peut intégrer membre à membre.
qu'est ce que l'équation (*) donne comme solution ?
Comment en déduire une solution maximale définie sur R ?

qu'est ce qu'il se passe si y est supposée négative ?
en déduire l'existence d'au moins trois solutions maximales pour la condition initiale y0=0
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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 03 Avr 2021, 20:38

Mathelot, est-ce à toi de faire l'exercice ?

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Re: Equation différentielle

par mathelot » 03 Avr 2021, 20:51

@GBZM: bon, j'ai tronqué mon message des deux tiers pour tenir compte de ta remarque

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 22:52

mathelot a écrit:bonjour,
pour trouver une solution non identiquement nulle:



on suppose



(*)
on peut intégrer membre à membre.
qu'est ce que l'équation (*) donne comme solution ?
Comment en déduire une solution maximale définie sur R ?

qu'est ce qu'il se passe si y est supposée négative ?
en déduire l'existence d'au moins trois solutions maximales pour la condition initiale y0=0


Bonsoir, merci pour ta réponse. Effectivement si on suppose y>0, l'équation n'est pas dure à résoudre. On trouve y telle que .

Mais pourquoi supposer y>0 (ou <0) ? On pourrait très bien imaginer une fonction y changeant de signe et solution de notre équation, non ?

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 23:06

mathelot a écrit:bonjour,
pour trouver une solution non identiquement nulle:



on suppose



(*)
on peut intégrer membre à membre.
qu'est ce que l'équation (*) donne comme solution ?
Comment en déduire une solution maximale définie sur R ?

qu'est ce qu'il se passe si y est supposée négative ?
en déduire l'existence d'au moins trois solutions maximales pour la condition initiale y0=0


Je ne vois pas comment en déduire des solutions maximales... :?

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 23:09

GaBuZoMeu a écrit:
Frandom94 a écrit:Pour être sûr, f est définie par f(t,y) = racine (abs( y(t)) tout simplement ?

J'écrirai plutôt ( ne dépend pas de ).

Oublie la valeur absolue (ce qui n'est pas trop gênant si tu prends ). Alors n'est pas trop dur à intégrer (c'est une équation à variables séparables). Je vois alors deux solutions avec


Okay, il suffit de choisir yo>0 et on a bien deux solutions pour y !

Par contre, j'ai peur de ne pas comprendre ce qui nous permet de décider y>0 (ou y<0)...

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Re: Equation différentielle

par mathelot » 03 Avr 2021, 23:44

Frandom94 a écrit:
Je ne vois pas comment en déduire des solutions maximales... :?


est ce que tu vois une solution triviale ? est-elle maximale ?

Le but de l'exercice, c'est de montrer que si F(t,y) n'est pas lipschitzienne en y (sauf erreur) , alors on peut perdre l'unicité de la solution du problème de Cauchy.

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 03 Avr 2021, 23:54

En fait, j'ai du mal à voir ce qu'on cherche à faire... Une fois qu'on a supposé y>0, on résout l'équation à variables séparables, pas de problème... Après dire si c'est maximal ou non, je ne sais pas ;(

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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 04 Avr 2021, 00:47

Frandom94 a écrit:On trouve y telle que .


Ceci donne . Ne vois-tu pas deux solutions définies sur vérifiant ?

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Re: Equation différentielle

par mathelot » 04 Avr 2021, 00:51

Frandom94 a écrit:En fait, j'ai du mal à voir ce qu'on cherche à faire...

on cherche au moins trois solutions au problème de Cauchy suivant:


Frandom94 a écrit:Une fois qu'on a supposé y>0, on résout l'équation à variables séparables, pas de problème... Après dire si c'est maximal ou non, je ne sais pas ;(

si y est supposée strictement positive, alors
(on fait c=0)

or
donc définie sur est solution.
on recolle cette solution partielle en posant pour
pour obtenir une solution maximale, définie sur R tout entier.

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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 04 Avr 2021, 16:20

J'ai dit des bêtises et je t'ai embarqué sur une fausse piste : Cauchy-Lipschitz montre justement qu'il y a une seule solution au voisinage de qui vérifie , et cette solution locale se prolonge en une unique solution maximale sur .
Tu peux voir ce que fait Mathelot.

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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 04 Avr 2021, 16:50

Un petit dessin avec en bleu les solutions de l'équadiff :

Image

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 05 Avr 2021, 00:13

Merci à vous deux pour vos réponses !

Mathelot, puis-je te demander pourquoi on a y(0)=0 ? Je ne vois pas d'où ça sort, car à priori y0 est quelconque.

Si je te suis bien, on trouve deux solutions : la solution triviale stationnaire y=0. Ensuite si y>0, on a y = t^2/4 pour t>0 . On pose ensuite y=0 sur R-* et on a une solution maximale.

Intuitivement, une solution est maximale quand elle prend place sur l'intervalle le plus grand possible, c'est bien ça ?

Merci beaucoup :)

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Re: Equation différentielle

par GaBuZoMeu » 05 Avr 2021, 10:20

Décidément, je n'arrête pas de raconter des bêtises :
GaBuZoMeu a écrit:cette solution locale se prolonge en une unique solution maximale sur .

Elle se prolonge, mais pas de manière unique ! La solution locale qui vérifie s'écrit et se prolonge de manière unique par cette formule sur . En , cette solution vient tangenter l'axe des . On peut la prolonger vers la gauche d'une infinité de façons, en suivant pendant un certain temps (éventuellement indéfiniment) l'axe des , puis en descendant en suivant une des demi-paraboles qu'on voit dessinées ci-dessus.

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Re: Equation différentielle

par Frandom94 » 08 Avr 2021, 14:44

Merci beaucoup ! :)

 

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