Équation différentielle

[wilfred1995]

Bonsoir à tous
Résoudre les équations suivantes :
a)

b)

c) trouver les solutions de l'équation différentielle ordinaire



Mes réponses :
a) je bloque après avoir trouvé l'équation homogène

Le b) et le c) difficile

[aviateur]

Bonjour pour le 1) tu fais varier la constante.

pour le 2 ) y(x)=1/u(x)
pour la 3) tu cherches la solution générale de l'équation homogène associé (facile)
Ensuite tu peux faire varier les cstes mais déconseillé car tu as des second qui peuvent te permettre de trouver des sol particulières sous la forme c cos(t) +d sin(t) (pour sin(t))
et exp(a*t) (fois un polynôme en t de degré (surement)

[Yezu]

Bonsoir,
sans me pencher sérieusement sur toutes les équations, je te donne juste les méthodes (si j'ai le temps d'ici demain, je verrais en profondeur chaque équation).

a)
La méthode de la variation de la constante devrait faire l'affaire, la connais-tu ? Si tu as déjà la solution homogène, il te reste encore un peu de travail, ou alors tu blockes sur des étapes propres à la dite méthode ?

b) EDO de Bernoulli
En supposant y non nul, multiplie l'égalité par et fait le changement de variable .
Tu devrais alors avoir du :
résoluble par les méthodes classiques.

c)
Utilise le principe de superposition pour trouver la solution particulière (tu résous d'abord avec le second membre en exponentielle, puis avec le sinus).
Pour le sinus, résout plutôt avec le second membre dont tu utiliseras la partie imaginaire à la toute fin.
Je ne sais pas si tu disposes de "formules" pour les solutions particulières de ce type d'EDO (méthode des "coefficients indéterminés"), les formules qui te donnent une expression type de solution particulières selon le second membre (dépendant de paramètres qu'on détermine en insérant la solution dans l'équation);
si non :
en supposant que tu viennes à l'équation avec solutions de l'équation caractéristique et l'opérateur de dérivation. Tu poses ensuite (par exemple) puis tu résous :
,
et enfin : (méthode assez fastidieuse, à ne pas privilégier si tu peux utiliser les "coefficients indéterminés").

[wilfred1995]

Bonsoir je trouve l'équation homogène du 1)

[wilfred1995]

En variant les constantes je bloque sur la primitive de

[wilfred1995]

yezu
Pour le b) j'ai finalement trouvé

[Pisigma]

Bonsoir,

pour la a)

ta solution de l'équation homogène est fausse.

quelle est ton équation homogène?

[Yezu]

Salut,

Ta solution n'est pas correcte, l'équation homogène est à variables séparables :



En intégrant :
avec .


Mais pour le reste du travail, tu n'as plus qu'à considérer que la constante puisse varier (et donc dépend de t) :

Tu la dérives :


Or : (équation de départ).

Tu as donc finalement :

Après intégration :

[Yezu]

Ta solution pour le b) est correcte !

[wilfred1995]

Merci j'ai vu où je m'étais trompé

[wilfred1995]

Salut le dernier exercice je ne n'arrive pas toujours à le faire
S'il vous plaît

[pascal16]

que donne la solution homogène ?
(delta de l'équation caractéristique négatif il me semble)

[Yezu]

Salut,

Dans le message que je t'ai envoyé pour l'aide : sur quoi exactement tu bloques ?

[aviateur]

Bonjour
J'avais indiqué la résolution la plus simple, as-tu essayé?
1. D'abord l'équation homogène ne dois pas te poser de problème. Si oui répond à la question de yezu ou bien dis où est la difficulté
Ensuite il faut chercher une solution particulière mais on peut superposer les solutions particulières
2. pour un second membre égal
3 puis un second membre égal sin(t).

pour le cas 2. il est logique de chercher une solution solution de la forme
Il suffit de remplacer et on trouve et sans pb

pour le cas 3. il est logique de chercher une solution solution de la forme
idem

[wilfred1995]

Ok d'accord

[Yezu]

Pour compléter mon commentaire du 26 Juin et l'aide d'aviateur :

La méthode que je donne à la fin est à utiliser vraiment quand tu n'as pas une idée de la gueule qu'aura la solution particulière. On l'appelle souvent "méthode de double intégration successive", elle marche tout le temps et te donne la solution générale directement (pas besoin de chercher la solution homogène). Mais elle est souvent lourde : je me souviens d'un calcul que j'ai eu à faire avec un second membre en série de Fourier; ça peut vite dépasser les 3 copies doubles; donc clairement à ne pas privilégier.

La méthode des "coefficients indéterminés" porte bien son nom : si tu as une idée d'un "type" de solution particulière et tu n'as qu'à l'insérer dans l'équation et trouver ces "coefficients". Méthode la plus simple.

Exemple :
Pour un second membre en , polynome de degré et a complexe. En reprenant les même notations qu'avant : solutions de l'équation caractéristique; tu as (dans ce qui suit est un polynome de degré ) :

1. si :
2. si ou () :
3. : .

Pour du second membre en , tu résous avec , tu suis la méthode et tu extrais la partie imaginaire à la toute fib.