Equation différentielle

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici un exercice su lequel je bloque :

(Ek) : xy »+2y' = 0 avec k réel fixé
On cherche les solutions y :]0 ;+00[ R de (Ek) telle que lim y(x)=1 en 0+

4. Mq pout toute valeur de k il existe une solution vérifiant lim y(x)+1 en 0+
...................................................................................

Pour la 1 j'ai calculer :
y(x)=z(x)/x
y'(x)=[z'(x).x - z(x)]/x²
y"(x)=[[z''(x)-z'(x).x²] - [2.x².z'(x).x - 2.x.z(x)]]/x^4

Mais ça me donne une équation inutilisation quand je remplace dans :
xy »+2y’+kxy = 0

Pouvez vous m'aider
Merci !

[zygomatique]

salut

montre ce que tu obtiens ....

[Maths-ForumR]

J'obtiens :

(Ek) : z"(x)/x^4 - z'(x)/x^3 + [-2.z(x).x² - z(x) + k.z(x).x^4]/x^4

[Black Jack]

J'obtiens :

(Ek) : z"(x)/x^4 - z'(x)/x^3 + [-2.z(x).x² - z(x) + k.z(x).x^4]/x^4

Cà, ce n'est pas une équation, une équation a toujours 2 membres.

xy" +2y’ + kxy = 0

y = z/x

y' = (xz'-z)/x²

y'' = (x².(z' - xz" - z')-2x(xz'-z))/x^4
y'' = (-x³z"-2x(xz'-z))/x^4
y'' = (-x²z"-2xz'+2z))/x³

(-x²z"-2xz'+2z)/x² + 2.(xz'-z)/x² + kxz/x = 0
(-x²z"-2xz'+2z+2xz'-2z)/x² + kxz/x = 0
(-x²z")/x² + kxz/x = 0
-z" + kz = 0

A vérifier ...

.

[Maths-ForumR]

Très bien merci je retrouve la même chose que vous !!

Donc (Fk)= -r²+k=0
Donc S= at+b avec (a; b) appartenant a K²

Mais comment déduire a et b sans conditions initiales ?

[zygomatique]

on te demande des solutions générales ....

une fois donné ces solutions générales la question 4/ imposera des conditions sur a et b ....

[Maths-ForumR]

Ensuite pour la 3.En déduire les solutions de (Ek) sur ]0 ;+00[
Faut-il que je divise mes solution par x car y(x)=z(x)/x ?

[zygomatique]

tu vois bien que le changement de variable z = y/x conduit à supposer x non nul

on ne peut donc travailler que sur des intervalles inclus dans ]0, +oo[ (ou ]-oo, 0[)

car il ne faut pas oublier que si une fonction est dérivable alors elle est continue (et on considère toujours ces propriétés sur des intervalles) ... qui ne peuvent donc contenir 0 ...

ici on décide de ne travailler que sur ]0, +oo[

....

[Maths-ForumR]

Oui mais vous me faites cette remarque pour quelle question ?

Si on suppose x non nulle on peut diviser les solution par x pour la 3 non ?

[zygomatique]

Ensuite pour la 3.En déduire les solutions de (Ek) sur ]0 ;+00[
Faut-il que je divise mes solution par x car y(x)=z(x)/x ?

tu trouves z puis tu en déduis y par division par x .... d'où ma réponse ....

[Maths-ForumR]

J'ai réussi a terminer l'exercice merci pour votre aide !

[Black Jack]

Attention, erreur de signe dans ma réponse.

La ligne y'' = (x².(z' - xz" - z')-2x(xz'-z))/x^4

doit être remplacée par : y'' = (x².(z' + xz" - z')-2x(xz'-z))/x^4

La suite doit être modifiée en conséquence.

Sauf autre erreur, on arrive alors à l'équation : z'' + k.z = 0

:zen: