Equation différentielle

[Gonra]

Bonsoir,

Pourquoi on pose yp=Acos(x)+Bsin(x) lorsque le second membre d'une équation différentielles est une fonction trigonométrique ?

[Ben314]

Salut,
Quand tu cherche des solutions particulières d'une équa. diff., tu les cherche dans une "classe" de fonctions telles que leur dérivées soient aussi dans la même classe (pour qu'il puisse y avoir des simplifications entre ,, ,...).
Par exemple, si le second membre de ton équa. diff. est , tu constate qu'en dérivant, le va donner du qui va donner du puis des constantes et que le ma donner du en dérivant.
Conclusion : tu va chercher une solution particulière de la forme

(mais il y a des fois où ça ne marche pas si le second membre est "lié" à la solution de l'équation homogène associé)

[Gonra]

(mais il y a des fois où ça ne marche pas si le second membre est "lié" à la solution de l'équation homogène associé)

bonsoir , je n'ai pas compris le "lie"
vous voulez dire que le second membre est solution de l’équation homogène ?

[Ben314]

Oui, c'est effectivement le cas si le second membre est solution de l'équation homogène.
Mais c'est aussi le cas si la fonction x->sin(x) est solution de l'équation homogène et que le secon membre est x^2sin(x) : il faudra chercher la solution particulière sous la forme (...)sin(x)+(...)cos(x) où les (...) désignent des polynômes de degré 3 et pas 2.

En général, si le second membre a "une forte ressemblance" avec une des solutions de l'équation homogène, il peut être prudent d'utiliser la méthode dite "de variation de la constante" plutôt que de chercher "en tatonant" une solution particulière.