Équation différentielle

[teryboulet]

Bonjour,

J'ai de la difficulté à trouver de la littérature pour résoudre une eq différentielle qui ne contient pas explicitement de t. Auriez-vous quelques suggestions à ce sujet? Voici mon problème:

dx/dt =(a +bx)(x(bar)-x)

Ou x est x(t), a b et x(bar) sont des constantes et x au temps 0 est donné.

MSi vous savez ou lire à ce sujet ça m'aiderait car toute les eq que je vois contiennent t.

Merci

[Ericovitchi]

Elle est à variables séparées puisqu'elle s'écrit
dt = dx/(a +bx)(x(bar)-x) donc il suffit d'intégrer des deux cotés.

[siger]

Bonjour,

Je ne comprends pas ton probleme! ce n'est semble-t-il qu'une question d'ecriture.

Tu as une equation differentielle de la forme
x'(t) = P(x)
P(x) etant un polynome du second degre et evidemment x une fonction de t

Tu connais des equations de cette forme...
dans le cas par exemple ou P(x) est une fonction lineaire on a
x'(t) = k*x(t)
x'(t)/x(t) = k
et x(t) = e^kt ........

[teryboulet]

Merci de votre réponse. Donc pour le coté droit

1/(a+bx)(x(bar)-x) = A/(a+bx) + B/(x(bar)-x)

1 = A(x(bar)-x)+B(a+bx)

1+ax=Ax(bar)+Ba+Bbx

je pourrais donc dire

1=Ax(bar)+Ba

Bb=a

B=a/b

A= (1-(a^2)/b)/x(bar)

Et je peux ensuite procéder à l'intégration du coté droit? (dsl voila lgt que je n'ai pas fait ce type de décomposition)

Je me demande toutefois pourquoi on dit que x_0 nous est donné?

Merci

[teryboulet]

Ok, x_0 donné sert à calculer la constante à la fin. J'ai fait une erreur dans le dernier calcul, en fait:

1+Ax=Ax(bar)+Ba+Bbx (1+Ax , j avais mis petit A)

Ce qui donne A=bB

et B=1/(bx(bar)+a)

Mon problème est que l'intégration ne me donne pas une équation ou je peut isoler x. J'obtient:

e^((t-c)/B) = ((a+bx)^b)(x(bar)-x)

une piste?

[Ericovitchi]

j'ai noté x(bar)=c
une primitive de dx/(a +bx)(c-x) :[ ln(a+bx)]/(a+bc)-[ln(x-c)]/(a+bc)
donc ça donne t-t0 = [1/(a+bc)]ln[(a+bx)/(x-c)]
donc

je ne vois pas de problème pour en déduire x en fonction de t.