Equation differentielle

[dubus]

Bonjour à tous

Pouvez vous m'aider à resoudre
xy'+y= arctanx
equation sans second membre est kx par contre le second membre je ne vois pas comment
faire avez vous une idee svp

jean

[siger]

Bonjour,

y = kx est la solution de xy'-y=0
la solution de xy'+y=0 est y = k/x

avec second membre on fait "varier" la constante
xy'+y = x*(-k/x²) +k'/x + k/x = arctg (x)
dou k= Somme(x arctg(x)) qu'on integre par parties avec (arctg(x))' = 1/(1+x²)
......

[Black Jack]

Ou ainsi :

xy' + y = arctg(x)

En dérivant :

2y' + xy'' = 1/(1+x²)

y' = t
y'' = t'

2t + xt' = 1/(1+x²)

poser t = uv

2uv + x(u'v+uv') = 1/(1+x²)
u(2v + xv') + xu'v = 1/(1+x²)

On essaie de trouver une expression de v telle que 2v + xv' = 0

v'/v = -2/x
ln|v| = ln(1/x²)
v = 1/x² (si x est différent de 0)

L'équation devient alors :
xu'v = 1/(1+x²)
u' = x/(1+x²)

u = (1/2).ln|1+x²| + K

t = (1/(2x²)).ln|1+x²| + K/x²

y' = (1/(2x²)).ln|1+x²| + K/x² (1)
****
S ln|1+x²|/x² dx

ln(1+x²) = u --> du = 2x/(1+x²)

dx/x² = dv ---> v = -1/x

S ln|1+x²|/x² dx = (-1/x).ln(1+x²) + 2 S dx/(1+x²)

S ln|1+x²|/x² dx = (-1/x).ln(1+x²) + 2 arctg(x)

Remis dans (1) --->

y = arctg(x) - (1/(2x)).ln(x²+1) + K'/x

:zen:

[dubus]

Ou ainsi :

xy' + y = arctg(x)

En dérivant :

2y' + xy'' = 1/(1+x²)

y' = t
y'' = t'

2t + xt' = 1/(1+x²)

poser t = uv

2uv + x(u'v+uv') = 1/(1+x²)
u(2v + xv') + xu'v = 1/(1+x²)

On essaie de trouver une expression de v telle que 2v + xv' = 0

v'/v = -2/x
ln|v| = ln(1/x²)
v = 1/x² (si x est différent de 0)

L'équation devient alors :
xu'v = 1/(1+x²)
u' = x/(1+x²)

u = (1/2).ln|1+x²| + K

t = (1/(2x²)).ln|1+x²| + K/x²

y' = (1/(2x²)).ln|1+x²| + K/x² (1)
****
S ln|1+x²|/x² dx

ln(1+x²) = u --> du = 2x/(1+x²)

dx/x² = dv ---> v = -1/x

S ln|1+x²|/x² dx = (-1/x).ln(1+x²) + 2 S dx/(1+x²)

S ln|1+x²|/x² dx = (-1/x).ln(1+x²) + 2 arctg(x)

Remis dans (1) --->

y = arctg(x) - (1/(2x)).ln(x²+1) + K'/x

:zen:

Merci à vous c'est sympa