Equation différentielle

[tiraphy]

Bonsoir,
j'ai quelque petites difficultés à me débrouller avec ce problème.

Dans une école de commerce de réputation internationale ayant 5 000 étudiants, le taux de
croissance du nombre d'étudiants propageant une rumeur est à la fois proportionnel au produit
du nombre d'étudiants la connaissant et au nombre d'étudiants l'ignorant.

- Écrire l'équation différentielle représentant cette situation

j'ai pensé comme equation :
D(P)/D(t) = k*P(5000-P)

P etant le nombre d'etudiant la connaissant.

mais je n'arrive pas à résoudre cette équation. je ne sais pas si je reste a faire des erreure mais je n'arrive pas a m'en sortir. je me demandais si quelqu'un aurait une idée ou me dire si j'ai bien ecrit l'equation differenielle au depart.

je vous remercie d'avance pour vottre aide....

[JeanJ]

dP/dt = k*P*(5000-P) est à variables séparées, donc méthode habituelle :
k*dt = dP/(P*(5000-P))
k*t = ...?... +constante
etc.

[tiraphy]

dP/dt = k*P*(5000-P) est à variables séparées, donc méthode habituelle :
k*dt = dP/(P*(5000-P))
k*t = ...?... +constante
etc.

Merci pour la reponse
mais j'ai pu plus ou moins intégrer chaque partir

1/[k*P(5000-P)] = a/p + b/(5000-p)

au final j'ai

2*10^-4 * (ln(P) + ln( 5000-P) = kt

et la je ne sais pas comment trouver P(t)=.........?

c'est la que je suis vraiment bloqué

merci d'avance

[JeanJ]

Merci pour la reponse
mais j'ai pu plus ou moins intégrer chaque partir

1/[k*P(5000-P)] = a/p + b/(5000-p)

au final j'ai

2*10^-4 * (ln(P) + ln( 5000-P) = kt

et la je ne sais pas comment trouver P(t)=.........?

c'est la que je suis vraiment bloqué

merci d'avance

Il y a une erreur de signe.
Et où est donc passée la constante d'intégration ?

[tiraphy]

Il y a une erreur de signe.
Et où est donc passée la constante d'intégration ?

ah oui j'ai failli me tromper merci beaucoup

(ln(P) -l n( 5000-P) = 5000(kt + C )

la c'est mieux non? mais je dois tout trouver en fonction de P

[tiraphy]

voila
Ln(P) - Ln (5000- P) = 5000kt + C

au final j'ai P= [5000*C*e^(5000kt)]/[1 +Ce^(5000kt)]

[JeanJ]

ah oui j'ai failli me tromper merci beaucoup

(ln(P) -l n( 5000-P) = 5000(kt + C )

la c'est mieux non? mais je dois tout trouver en fonction de P

Que donne l'exponentielle du membre de gauche de l'égalité ?

[tiraphy]

Que donne l'exponentielle du membre de gauche de l'égalité ?

P(t)= [5000*C*e^(5000kt)]/[1 +C*e^(5000kt)]


apres il y a une autre sous-question qui dit
-Si la constante de proportionnalité est égale à 0.002 et qu’au départ 50 étudiants
propage la rumeur, donner la solution de l’équation différentielle

du cout je met p(0)=50
et je remplace k par sa valeur
je trouve C
et comme sa je peux trouver l'équation différentielle qui montre comment se propage la rumeur

donc:
P(t)= [50e^(10t)]/[1 + 0.01e^(10t)]