Equation différentielle en y'y

[Olivier.D]

Bonjour,

Quelle serait la méthode pour résoudre une équation différentielle du type :
a.y'.y+b.y'+c=0 (1)
avec a, b, c constantes et y une fonction dérivable sur R+.
conditions limites :
y'(0)=d (connu et constant)
y(0) =k (connu et constant)

J'ai tenté d'intégrer (1) puis de résoudre l'équation du second degré
a/2*y^2+b*y+c*x+m=0 (2)
avec m constante. mais une fois y déterminée, les valeurs numériques ne collent pas avec le sens physique du problème.

Auriez vous une idée ou une solution d'aide ?

Merci.

[Pythales]

Sans intégrer, tu dois déja avoir (imposé aux CI)
Ce que tu as fait est correct, mais note que pour déterminer la constante d'intégration, tu n'as besoin que de

[Olivier.D]

Merci de ta réponse.
Cependant mise à part la méthode d'intégration, n'y a t il pas une autre manière de résoudre le probleme ?

Par ce qu'en fait c'est un problème d'usinage. Sur un tour je veux usiner un cylindre. Les critères sont : avoir une meme épaisseur elevée appelée fz (mm) et une meme vitesse de coupe Vc (mm/s) tout au long du procédé. Au fur et à mesure que j'enlève de la matière pour garder ces variables constantes il me faut augmenter la vitesse de rotation et aussi l'avance de l'outil.

Sur le problème donné précedemment, (1) est en réalité :
Vc=y'(t).(Rinit-y(t).fz) (3)
avec t le temps, Rinit le rayon initial de mon barreau a usiner, y le nombre de tour et donc y' la vitesse de rotation (rad/s). On a bien y=intégrale(y').

Une fois intégré ca me donne :
Rinit.y(t)-fz/2*y(t)^2-Vc*t=0 (4)
en sachant que la constante d'intégration est nulle de part les CI.

Si l'on résoud cette équation j'ai :
y(t)=(-Rinit+/-racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t))/-fz. (5)

La racine >= 0 ma fonction est bornée avant même que l'ensemble du barreau soit usiné.

Ensuite si je dérive y(t) trouvé via (5) j'ai y'(t)=Vc/racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t) (6)
or y'(t) est la vitesse de rotation donc est équivalente a
y'(t)=Vc/R(t) (7)
avec R(t) le rayon à l'instant t. Or ce rayon dans l'équation (3) est
R(t)=Rinit-y(t).fz et non pas racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t).

Donc il y a un probleme quelque part...

[JeanJ]

y'/(ay+b) = -c s'intègre directement.

[Olivier.D]

Bonjour,

y'/(ay+b) = -c s'intègre directement.

Je suis d'accord. Mais moi j'ai y'.(ay+b)=-c

[Sa Majesté]

Si l'on résoud cette équation j'ai :
y(t)=(-Rinit+/-racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t))/-fz. (5)

D'abord on résout (et pas on résoud, c'est comme ça, c'est stupide mais il paraît que c'est la beauté de la langue française :briques: )

Ensuite puisque y(0)=0, le +/- est en fait +

d'où

Ensuite si je dérive y(t) trouvé via (5) j'ai y'(t)=Vc/racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t) (6)
or y'(t) est la vitesse de rotation donc est équivalente a
y'(t)=Vc/R(t) (7)
avec R(t) le rayon à l'instant t. Or ce rayon dans l'équation (3) est
R(t)=Rinit-y(t).fz et non pas racine(Rinit^2-2*fz*Vc*t).

Donc il y a un probleme quelque part...

Il n'y a aucun problème car

[Olivier.D]

Bonjour,
Avec votre aide et en refléchissant un peu j'ai réglé le problème...
En fait la démarche est donc bien la bonne, ca coincait au niveau des valeurs numériques car y'(t) est en radians/s et y(t) en tours comme donné sur mes formules. Donc il manquait un facteur 1/(2.pi) qui faisait que les valeurs étaient erronées.

y(t) est alors en radians et l'Eq. (3) est :
Vc=y'(t).(Rinit-y(t).fz/(2.pi))

Merci à tous.