Equation différentielle

[Ludo1be]

Bonsoir,

Voila, j'ai vu les équations différentielles au cours mais quelque chose m'a échappé...
Ici, nous voyons les équations différentielles du 1er ordre à variables séparables.
J'ai très bien compris comment les résoudre mais quelque chose m'échappe dans les valeurs absolues, j'explique...

Donc : y' = y+1/x
je pose y' = f(x) défini par 1/x et g(y) = (y+1)
Donc: y' = f(x).g(y)

Je sais que la solution constante est -1 (racine de g)
Maintenant je passe aux autres solutions:
Donc,
= y' = f(x).g(y)
= y'/g(y) = f(x)
= y'/y+1 = 1/x

Je calcule les primitives de chaque partie et j'arrive à:
ln|y(x)+1| + C = ln|x| + C
Ensuite là j'ai pas compris la constante de la première partie de l'équation a disparue lorsque je multiplie des 2 côtés par e^x O_o ça me donne:
|y(x)+1| = |x|.e^C
Pourquoi?

Soit, je continue:
Je sais que je peux remplacer e^c par C vu que ça reste une constante
Et là, je peux retirer les valeurs absolues de y(x)+1 en multipliant par +/- c c'est ça?
ça me donne:
y(x)+1 = x.+/-c
--> mes 2 valeurs absolues ont disparues
Là je pose +/- c = c'
Ca me donne
y(x)+1 = x.c'
et donc:
y(x) = cx-1


J'aimerais surtout qu'on m'aide à répondre aux questions soulignées, c'est très important. Un grand merci à ceux qui m'aideront,

Bonne soirée,
Ludo1be

[Arnaud-29-31]

Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi tu pose des fonction f, g etc ... tu peux directement dire

Ensuite tu as une constance de chaque coté de l'égalité tu peux la regrouper en une seule :
Et attention, tu ne multiplies pas par exp(x) mais tu prends l'exponentielle de chaque expression ...

En effet, on peut retirer les valeurs absolues en incluant l'éventuel facteur (-1) dans la constante ... attention à bien l'expliquer histoire que ca ne sente pas le passage en force.

[Ludo1be]

Ha ok, donc le problème des constantes est déjà réglé. Un grand merci Arnaud.
Maintenant, pour les valeurs absolues, j'ai pas trop bien saisi :mur: Peux-tu me montrer sur cet exemple en détail si ça ne te dérange pas?

[Arnaud-29-31]

|y+1| = C.|x|

En trèèès détaillé ca donne :
On peut inclure cet éventuel signe moins dans la constance.

Donc |y+1| = C.x





Encore une fois, on inclut l'éventuel -1 dans la constante C.

[Ludo1be]

Ok, donc, à partir du moment où j'enlève les 2 valeurs absolues, je doit dire que c appartient à R\{-1} ? A chaque fois tout simplement, c'est ça?

[Arnaud-29-31]

Non ... pourquoi ? C peut prendre toute valeur dans R

[Ludo1be]

J'ai toujours du mal à saisir... Je vois que quand c'est valeur absolue ca peut être + ou - mais je vois toujours pas comment on arrive à montrer que c'est juste positif...

[Arnaud-29-31]

?? Que quoi est juste positif ?

[Ludo1be]

La constance C et le y+1 (ou y... même chose en mettant le +1 de l'autre côté)

[Arnaud-29-31]

Mais la constante elle vaut n'importe quoi dans R

[Ludo1be]

Mais la constante elle vaut n'importe quoi dans R

Donc c'est pour ça qu'on peut lui enlever sa valeur absolue? Puis on peut poser +/- c = C'

Et maintenant concernant le y(x)+1 comment peut-on enlever sa valeur absolue? :mur:

[Arnaud-29-31]

Si j'ai x positif alors, C.|x| = C.x
Pour C respectivement égale à -1, -2, 1 et 2 j'ai alors C.|x| qui sera la fonction qui a x associe respectivement -x, -2x, x et 2x.

Si j'ai x négatif alors, C.|x| = - C.x
Pour C respectivement égale à -1, -2, 1 et 2 j'ai alors C.|x| qui sera la fonction qui a x associe respectivement x, 2x, -x et -2x

On voit donc que dans les deux cas rien ne change dans l'expression de C.|x| qui peut s'écrire C.x

[Arnaud-29-31]

Donc c'est pour ça qu'on peut lui enlever sa valeur absolue? Puis on peut poser +/- c = C'

Oui c'est ça sauf que C n'a pas de valeur absolue, c'est x ...

Et maintenant concernant le y(x)+1 comment peut-on enlever sa valeur absolue? :mur:

On a maintenant |y+1| = C.x
Donc (y+1) = C.x y+1 = C.x et même topo ...

[Ludo1be]

Ha OUI!!!!! Ok, ha maintenant ça va! :++:

Un grand merci encore Arnaud,
Passe une bonne soirée

[Arnaud-29-31]

De rien !! :D

Bonne soirée à toi aussi.