Equation differentielle

[MathematicienPoche]

Bonjour,

j'essaie de résoudre cette équation différentielle:

y'' - 2y' - 3y = 0 qui devrait admettre comme solution Y = Ae^-t + Be^3t car l'équation caractéristique me donne des zéros -1 et 3. Les valeurs initiales sont y(0) = y'(0) = 0. Ce qui me donne A + B = 0 et -A + 3B = 0. Qu'est-ce que je fais de mal?? merci beaucoup de votre aide.

[Ben314]

Ben, avec ton équa-diff + les condition initiales y(0)=y'(0)=0 tu as affaire à ce que l'on appelle "un problème de Cauchy" et ton cours doit dire qu'il n'y a qu'une seule solution.
Ensuite, ben tu peut quasiment jeter tout tes calculs à la poubelle vu qu'ici, il est clair (sans aucun calculs) que LA solution, c'est la fonction identiquement nulle.
Si tu veut quand même garder tes calculs (qui sont justes) tu constate à la fin que ton système
A + B = 0
-A + 3B = 0
a comme unique solution A=B=0 ...

[MathematicienPoche]

Je suis d'accord par contre le corrigé du prof indique que la réponse est:

(-1/18)e^-t + (1/2)e^3t - (2/9)(3t+2)e^2t alors... :mur:

j'ai oublié de dire qu'a la base l'équation que j'essaie de résoudre est celle-ci:

y'' - 2y' - 3y = 2te^2t

[Ben314]

Heuuu,
tu es sûr que ton équa-diff, c'est bien
y'' - 2y' - 3y = 0
ça serait pas plutôt un truc avec du exp(3x) à droite du '=' ?

[MathematicienPoche]

jai modifié mon message plus haut effectivement l'équation de base ce n'est pas = 0. On m'a dit qu'il fallait d'abord trouver les solutions à l'équation homogène ce n'est pas exact?

[Ben314]

Bon, O.K.,
ça veut dire que, pour le moment, tes solutions :
y=A.exp(-t)+B.exp(3t)
ce ne sont pas les solution de l'équation donnée
(E) : y'' - 2y' - 3y = 2t.exp(2t)
mais les solutions de ce que l'on appelle "l'équation homogène associée", c'est à dire la même mais avec = 0 comme second membre :
(EH) y'' - 2y' - 3y = 0

C'est la bonne démarche MAIS, ce n'est pas fini.
Pour trouver les solution de (E) [et pas seulement celles de (EH)] il y a deux méthodes "standards" :

1) La variation de la constante : long, fastidieux, mais ça marche tout le temps (modulo le calcul d'une primitive que l'on ne sait souvent pas faire)

2) Les "essais" : beaucoup plus rapide, mais il faut "essayer" juste...
En fait, si on trouve ne serait ce qu'une solution de (E), ben on déduira toutes les autres en ajoutant à cette solution particulière les solutions de l'équation homogène.

Ici, que faut il essayer comme fonction y si on veut avoir une chance que
y'' - 2y' - 3y = 2t.exp(2t) ?

Vu qu'il y a du exp(2t) à droite, on est tenté d'essayer y=exp(2t), ou mieux, y=a.exp(2t) [on verra quel a prendre pour que ça marche]

Est ce bon ? non, car à droite on a un facteur 't' et ce n'est pas en dérivant (même deux fois) a.exp(2t) qu'il va "apparaitre".

Donc il vaudrait mieux "essayer" y=t.exp(t), ou plutôt y=at.exp(2t).
Est-ce bon ? non, car quand on dérive at.exp(2t) on tombe en particulier sur du a.exp(2t) et on en veut pas dans le résultat.
Comment l'éliminer ?
Eh ben en mettant AUSSI du exp(2t) dés le départ pour éliminer celui qui apparait à la dérivation.

CONCLUSION : on (en fin tu) va essayer avec y=at.ext(2t)+b.exp(2t)
et regarder si, en choisissant convenablement le 'a' et le 'b', y'aurais pas moyen d'avoir : y'' - 2y' - 3y = 2t.exp(2t)

[MathematicienPoche]

J'ai essayé la méthode de variation des paramètres et ca ne fonctionne pas:

Y = Aue^2t ou u est une fonction de t

Y' = Au'e^2t + 2Aue^2t

Y'' = Au''e^2t + 4Au'e^2t + 4Aue^2t

jobtiens:

Au'' + 2Au' - 3Au = 2t

qui ne m'avance a rien de plus:(

Je vais tenter ta deuxième methode

[MathematicienPoche]

Bon et bien j'ai essayé et je ca ne fonctionne pas :(

d'autres proposition?

[Ben314]

Avec ta méthode dite de "variation de paramètre" tu peut t'en sortir.
Déjà, le A ne sert à rien, tu peut bien décréter que la constante A "fait partie" de la fonction U que tu cherche.

Tu veut que u"-2u'-3u = 2t
à droite, polynôme de degré 1 => on essaye un polynôme de degré 1
u = at+b => u'=a => u"=0 et l'équation devient
0-2a-3(at+b) = 2t , c'est à dire -3at-(2a+3b)=2t
ce qui marche trés bien si on prend -3a=2 et 2a+3b=0

Si dés le départ tu avais pris y=(at+b).exp(2t) et ben tu tombait (évidement) exactement sur la même chose (avec les mêmes calculs)

Résumé : il faut prendre a=-2/3 et b=-(2/3)a=-4/9 ce qui signifie qu'une solution particulière de (E) est :
y = (-(2/3)t-(4/9)).exp(2t)
et que la solution générale de (E) est :
y = (-(2/3)t-(4/9)).exp(2t) + A.exp(-t) + B.(exp(3t) où A et B sont deux constantes.

Y'a plus qu'a trouver A et B pour que tes conditions initiales soient vérifiées.

[MathematicienPoche]

wow! merci beaucoup j'ai réussi grâce à tes explications.