Equation differentielle

[MathematicienPoche]

Bonjour,

j'ai l'équation différentielle y'' + 2y' + y = 3e^-t

j'ai essayé de poser Y = Ae^-t mais je trouve une équation impossible à résoudre 0 = 3. Comment trouver la solution? merci.

[JeanJ]

Salut

y = Ae^-t est solution de y'' + 2y' + y = 0
Pour trouver les solutions de y'' + 2y' + y = 3e^-t , remplace la constante A par une fonction inconnue f(t) , donc y = f*exp(-t)
Calcule y' et y'' que tu reporteras dans l'équation, qui se simplifie et que tu pourras alors résoudre facilement pour trouver f(t).

[alavacommejetepousse]

bonjour

oui on peut comme ça ou chercher directement une solution particulière ax^2 exp(-x) avec a constante à trouver

[MathematicienPoche]

non on peut pas avec y = Ae^-t

preuve:

y = Ae^-t
y' = -Ae^-t
y'' = Ae^-t

Ae^-t - 2Ae^-t + Ae^-t = 3e^-t
A - 2A + A = 3

0 = 3

c pour ca que j'ai pris le temps de dire que ca ne fonctionnais pas ! :triste:

[Billball]

bah avec les variations de lagrange, c'est faisable

[Black Jack]

non on peut pas avec y = Ae^-t

preuve:

y = Ae^-t
y' = -Ae^-t
y'' = Ae^-t

Ae^-t - 2Ae^-t + Ae^-t = 3e^-t
A - 2A + A = 3

0 = 3

c pour ca que j'ai pris le temps de dire que ca ne fonctionnais pas ! :triste:

Il faut lire ce qu'à très justement écrit JeanJ.

y = f(t).e^-t
y' = ...
y'' = ...

:zen:

[alavacommejetepousse]

bonjour

oui on peut comme ça ou chercher directement une solution particulière ax^2 exp(-x) avec a constante à trouver

il faut lire ce qu 'a écrit très justement alavacommejetepousse; c'est pour ça qu'il a pris la peine d'aider

solution particulière
ax^2 exp(-x) et non a exp(-x) !!

[Black Jack]

il faut lire ce qu 'a écrit très justement alavacommejetepousse; c'est pour ça qu'il a pris la peine d'aider

solution particulière
ax^2 exp(-x) et non a exp(-x) !!

Certes alavacommejetepousse, ta méthode est bonne.
Mais pour la choisir, il faut par expérience savoir qu'une solution particulière est de la forme que tu donnes.
Si MathematicienPoche n'a pas cette expérience car il débute sur le sujet, alors c'est raté.

Par contre, comme il a du trouver les solutions de y'' + 2y' + y = 0 qui sont de la forme A.e^-t + Bt.e^-t, il peut choisir une solution simple quelconque parmi celles-là (soit y = A.e^-t) et il peut alors employer la méthode enseignée dès le début de l'étude des équations différentielles de la variation de la constante pour trouver une solution particulière de l'équation avec second membre complet.

C'est la piste qu'a donnée JeanJ qui s'inscrit dans la ligne de ce qui est enseigné au début de l'étude des équations différentielle.

Il reste vrai, qu'avec un poil d'expérience, on peut partir directement avec une solution particulière y = a.x^2 exp(-x) mais ce n'est pas évident si on débute... Et difficile de dire au prof qu'on a deviné que cela pouvait marcher.

:zen:

[dimouf]

je donne juste la méthode générale pour uen équa-dif du type :
a y'' + b y' + c y =P*exp(wx)
ou P est un polynôme...
lorsque w est solution double de l'équation caractéristique, ce qui est notre cas
on choisit la solution particulière sous la forme:
exp(wx)*Q(x) avec Q polynôme tel que degré(Q)=degré(P)+2;

ici il faut chercher f sous la forme (a+bx+cx²)*exp(-x)

[mathelot]

Bonjour,

j'ai l'équation différentielle y'' + 2y' + y = 3e^-t

j'ai essayé de poser Y = Ae^-t mais je trouve une équation impossible à résoudre 0 = 3. Comment trouver la solution? merci.

précision:
l'équation caractéristique de l'équa diff. est
de racine -1.

or on retrouve au second membre. dans ce cas il faut augmenter
le degré du polynome

et chercher une solution particulière sous la forme

et non pas