Equation differentielle du second ordre

[Gigi07]

Bonjour ,

Je poste pour des équations différentielles du second ordre.

Les équations sont :
y''-2y'+5y = 10.cos(x)
y''+y = 2.sin(x).cos(x)

Je pense que les 2 équations doivent se résoudre de la même manière. En tout cas je bloque toujours au même passage, à la recherche de la solution particulière.

Pour l'équation homogène, j'arrive respectivement à :
(.cos(2x)+.sin(2x)).
.cos(x)+.sin(x)

Pour la solution particulière, je ne sais pas qu'elle forme je dois utiliser. Dans un premier temps, j'avais opté pour la forme P(x).cos(x) + Q(x).sin(x) mais je m'aperçois dans les 2 cas que cette forme ne convient pas.

Pouvez vous m'aider ?

[Black Jack]

Pour le premier :
y = A.sin(x) + B.cos(x)
...

Pour le second :
y = A.sin(2x) + B.cos(2x)

Avec A et B des constantes à déterminer.


:zen:

[Gigi07]

Merci, mais ça j'ai pu le trouver avec le forme que j'ai identifié.

Les problèmes commence lorsqu'il faut trouver A et B puisque dans le premier cas il n'y a pas de sinus et que dans le deuxième il n'y a pas de cosinus ...

Avant vous une idée sur la marche à suivre ???

[Black Jack]

Je montre pour le premier.

y = A.sin(x) + B.cos(x)

y' = A.cos(x) - B.sin(x)
y'' = -A.sin(x) - B.cos(x)

y''-2y'+5y = 10.cos(x)

-A.sin(x) - B.cos(x) -2A.cos(x) + 2B.sin(x) + 5A.sin(x) + 5B.cos(x) = 10.cos(x)

(4A+2B).sin(x) + (4B-2A).cos(x) = 10.cos(x)

On a donc le système :
4A+2B = 0
4B-2A = 10

Qu'il suffit de résoudre pour trouver A et B...

:zen:

[Gigi07]

D'accord !!!

J'ai été un peu trop hâtif dans ma simplification.

Merci beaucoup pour les indications claire et rapide !

Guillaume :D