Équation différentielle du second ordre a coefficient non constant

[cannelle]

Bonjour,

J'ai un petit problème dans un exercice d'analyse vectorielle et plus précisemment dans la résolution d'une equation différentielle.
Dans la première partie de l'énoncé, on me demande de calculer des gradients, divergence et rotationnel avec F(x,y,z)=y²sin(xz),e^ycos(x²+z), ln(2 + cos(x²y).
Cette première partie ne pose aucun soucis, par contre dans un deuxième temps on pose x appartient a R3 et r=||x|| et f une fonction de R3 telle que f(x)=g(r).
Il faut exprimer delta f en fonction de g puis en déduire les solutions de delta f =0 qui ne dépendent que de r.

delta f= d²f(x)/dx1² + d²f(x)/dx2² + d²f(x)/dx3²
Je fais les différentes opérations et je trouve:

delta f= d²g(r)/dr²+(2/r)*dg(r)/dr

J'arrive donc à l'équation différentielle suivante : g''+(2/r)*g'=0 (sachant que la variable est r) et je n'arrive pas a résoudre cette équation différentielle du second ordre avec des coefficients non constant.

Merci

[XENSECP]

Cherche une solution particulière sous la forme g'(r) = k/r déjà :)

[cannelle]

Cherche une solution particulière sous la forme g'(r) = k/r déjà

k/r? avec cette forme j'obtiens g"(r)= 2k/r²
Ça me donne une équation différentielle du premier ordre mais je n'en suis pas plus avancé...

[XENSECP]

k/r? avec cette forme j'obtiens g"(r)= 2k/r²
Ça me donne une équation différentielle du premier ordre mais je n'en suis pas plus avancé...

Hum j'ai pas été bien inspiré là !

Faisons ça proprement :

soit h = g ' (r)

h' +2/r h = 0
dh/dr + 2/r h = 0
dh/h = -2 dr/r
ln(h) = -2ln(r) + C
h = A/r²

et tu en déduis g(r)

[JeanJ]

Bonjour,

J'ai un petit problème dans un exercice d'analyse vectorielle et plus précisemment dans la résolution d'une equation différentielle.
Dans la première partie de l'énoncé, on me demande de calculer des gradients, divergence et rotationnel avec F(x,y,z)=y²sin(xz),e^ycos(x²+z), ln(2 + cos(x²y).
Cette première partie ne pose aucun soucis, par contre dans un deuxième temps on pose x appartient a R3 et r=||x|| et f une fonction de R3 telle que f(x)=g(r).
Il faut exprimer delta f en fonction de g puis en déduire les solutions de delta f =0 qui ne dépendent que de r.

delta f= d²f(x)/dx1² + d²f(x)/dx2² + d²f(x)/dx3²
Je fais les différentes opérations et je trouve:

delta f= d²g(r)/dr²+(2/r)*dg(r)/dr

J'arrive donc à l'équation différentielle suivante : g''+(2/r)*g'=0 (sachant que la variable est r) et je n'arrive pas a résoudre cette équation différentielle du second ordre avec des coefficients non constant.

Merci

g''+(2/r)*g'=0
g''/g' = -2/r
ln(g') = -2ln(r)+c
g' = C/r²
g = (-C/r) + constante

[XENSECP]

g''+(2/r)*g'=0
g''/g' = -2/r
ln(g') = -2ln(r)+c
g' = C/r²
g = (-C/r) + constante

copieur :ptdr: :ptdr: