équation différentielle (d'Airy)

[MacManus]

Bonjour

J'ai 3 questions concernant l'équation différentielle suivante : Y"-xY=0

1) L'ensemble des solutions sur R de cette équation est un espace vectoriel de quelle dimension ?
Cet ensemble peut-il être vide ?

2) Si l'on écrit Y sous la forme d'une série entière : , , où est une suite de réels, que peut-on dire sur les coefficients ?

3) Quel est le domaine de convergence de cette série ?


Pour la 1)
dimension=2
oui (?)

Pour la 2)
comment faire ensuite?

Pour la 3) je dirais tout compact de R ?

Merci pour votre aide

[Ericovitchi]

comment faire ensuite?

Cette égalité doit être vraie quelque soit x donc tous les coefficients des sont nuls quelque soit k, ca va te donner des relations genre dont tu devrais tirer des merveilles

[MacManus]

Bonjour, et merci !!

Le point 2 équivaut à :
-
et on a bien l'égalité d'Ericovitchi sur les coefficients, à savoir :
pour tout entier , . On s'aperçoit que le coefficient est nécessairement nul. (Il existe même une infinité de coefficients nuls...)

[MacManus]

Bonsoir!

je continue toujours au sujet de cette équation différentielle : y"-xy=0

On suppose que f est une solution de classe C2 sur R+ de cette E.D. et qu'il existe 2 points , strictements positifs tels que > et et , f(x)>0.

1) D'après le théorème de Rolle, il existe un point tq f'()=0. Que peut-on dire sur le signe de f"(x) sur ??

2) S'il existe un réel tel que , a-t-on =0, 0 ??

3) Soit maintenant f une solution de cette E.D. sur R_ telle que f(0)=1 et f'(0)=0. En écrivant une équation intégrale que doit vérifier f, que peut-on dire sur la monotonie de f ?

Pour la 1) je dirais que f"(x)>0 pour tout
Pour la 2) et la 3) pas vraiment d'idées
Voilà je sollicite votre aide une fois de plus. Merci encore!

[Pythales]

La conclusion de la 1) me semble impossible ...

[Nightmare]

Salut !

Ben on a f''(x) = xf(x)

Or sur ]x0,x1[ x est positif et f(x) aussi donc f'' l'est aussi (je ne vois pas le rapport avec le théorème de Rolle ...)

[kazeriahm]

ca semble bizarre puisque f'(epsilon)=0 donc f' est croissante donc positive sur [epsilon,x1[ mais pourtant f semble decroitre pour arriver a f(x1)=0

[Nightmare]

C'est donc qu'on ne peut pas imposer une telle condition à f

[kazeriahm]

ce qui montre en fait que f n'a au plus qu'une racine sur R+ ?

[Nightmare]

Ou bien qu'elle change de signe !

[kazeriahm]

non parceque si on remplace l'hypothese f>0 par f<0 on refait le meme raisonnement (f''<=0 => ... => absurde) il me semble (a verifier)

[Nightmare]

C'est donc que f n'est de signe constant sur aucun intervalle ! Difficile :lol3:

[kazeriahm]

ou alors qu'elle ne s'annule pas deux fois sur R+

[Nightmare]

aussi :lol3:

Mais c'est bizarre car l'énoncé ne semble pas vouloir en tenir compte.

[kazeriahm]

ouai, enfin un petit coup sur la page wikipédia de la fonction d'airy montre le graphe des deux solutions fondamentales, c'est très marrant, ellles oscillent sur R- et l'une tend très vite vers l'infini tandis que l'autre très vite vers 0...

[kazeriahm]

enfin en fait c'est pas le fait qu'elle s'annule deux fois mais plutot qu'elle prend deux fois les memes valeurs

bon faudrait arreter de parler et commencer a ecrire les choses...