Equadiff

[magalicantat]

Bonsoir

et où est une application à valeurs réelles continue, positive, non application nulle

Comment montrer que (solution de l'équation ) est nulle sur puis que sachant que s'annule en a et en b ?

je n'arrive pas à montre ceci sachant que j'ai montrer que les solutions de s'annulent au moins une fois

dites moi si vous avez des pistes d'idées merci

[Ben314]

Salut,
Supposons qu'une fonction deux fois dérivable soit telle que et soient toujours de même signe, plus précisément que (les solution de ton équation différentielle (**) vérifient bien cette condition)
Supposons qu'une telle fonction ne soit pas identiquement nulle : tel que

Quitte à remplacer par , qui vérifie aussi on peut supposer que .
Quitte à remplacer par , qui vérifie aussi (sur ) on peut supposer que .

On a grâce à l'hypothése donc est croissante sur .
D'où donc est croissante sur .
On en déduit que donc que .

[magalicantat]

tu montre que alors que l'une des hypothèses du problème montre l'inverse ...

ce qu'il faut démontrer c'est que si f est solution de et qu'elle s'annule en et en alors elle est nulle sur et en fait identiquement nulle (à démontrer dans un second temps)

[Ben314]

Le terme "contraposée" évoque-t-il quelque chose pour toi ?

Edit : tu fait quoi comme différence entre "montrer qu'elle est nulle sur [a,b]" et "montrer qu'elle est identiquement nulle" ? (moi, aucune...)

[magalicantat]

oui mais je n'avais pas compris que c'était de cette manière que tu faisais ta démo

Supposons qu'une telle fonction ne soit pas identiquement nulle

tu montres que si f n'est pas identiquement nulle, alors elle s'annule qu'une fois ?
quelle différence entre par l'absurde et par contraposée ?

[Ben314]

La contraposée d'une implication , c'est qui "dit" exactement la même chose (en math.)
Donc prouver "par contraposition" que est vrai, ça consiste à montrer que, si est faux alors forcément l'est aussi.
Une démonstration par l'absurde, ça consiste à partir des deux hypothèses vrai et faux et à tomber sur une contradiction. C'est en général très dangereux vu qu'on sait très bien que ce qu'on écrit c'est n'importe quoi (vu que c'est contradictoire) donc on ne peut s'appuyer sur aucun dessin ou autre correspondant au cas de figure envisagé.

Enfin bref, on ne fait des preuve "par l'absurde" que lorsqu'il n'y a pas moyen de faire autrement.

Une constatation "de vieux", par exemple, c'est qu'en général les étudiant adorent ça les preuves par l'absurde vu qu'il suffit de faire quelques erreurs de calculs pour tomber sur une contradiction et... c'est justement ça qu'il fallait trouver... (en plus, ça permet d'éviter de se poser des questions sur le sens à donner aux formules qu'on écrit vu qu'au fond elles sont contradictoires)


Sinon, ce que je démontre, c'est que, sous l'hypothèse que sur [a,b], on a :
non identiquement nulle sur [a,b] ou bien
Ce qui, par contraposition, prouve que sous les même hypothèse sur , on a :
identiquement nulle sur

[magalicantat]

Super l'explication,
mais dans ce cas, je pense avoir fait une erreur dans ma première démo que j'ai faite par l'absurde ..
l'énoncé est : On suppose qu'il existe strictement positive solution de . Montrer qu'il existe tel que et conclure à une absurdité

voici ce que j'ai écrit :
soit strictement positive
si était tel que , serait constante, on aurait donc avec comme n'est pas l'application nulle cette égalité est fausse ...

je pense avoir fait une erreur de raisonnement comme tu l'as dit

[Ben314]

Concernant la première question, il te faut des hypothèses supplémentaires si tu veut conclure que f s'annule forcément sur [a,b] (a froid, je vois pas bien lesquelles...).
Par exemple, la fonction y(t)=sin(t) vérifie y''+y=0 donc vérifie (*) avec p(t)=1 et si on prend [a,b]=[pi/2,3pi/2] elle ne annule pas sur [a,b].

[Ben314]

En fait, une fonction définie sur tout entier, non constante, deux fois dérivable sur et telle que sur s'annule forcément au moins une fois :

Comme f est non constante, il existe tel que .
Quitte à remplacer par , on peut supposer et .
Si , c'est fini donc on suppose que .
Considérons un et supposons que ne s'annule pas sur (donc reste >0).
On déduit de que sur donc que est décroissante sur donc que pour tout .
Comme la fonction a pour dérivée qui est négatif sur elle est décroissante sur et on a en particulier .
Comme on a donc d'où .
Ce qui prouve (par contraposition) que, si , alors s'annule au moins une fois sur donc en particulier qu'elle s'annule au moins une fois sur .

[magalicantat]

ca me parait bien compliqué, je ne voyais pas la question demander autant de justification mais merci pour les idées