Epaces propres

[bentaarito]

Bonsoir,

On a u un endomorphisme orthogonal.
Je veux montrer que deux espaces propres de u associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Alors j'ai montré que E était une somme directe de E_a et E_a orthogonal , pour toute vp a.
puis si je prends x dans E , il existe un unique couple (y,z) dans E_a x E_a orthogonal tq x=y+z
et donc u(x)=ay+u(z)
maintenant si je considère un vp y' associé à une vp b != a, je dois montrer que =0
mais j'arrive pas!! suis-je sur la bonne voie?
(PS: je pense que ce résultat reste vrai pour un u quelconque, est ce juste? comme ça je pourrais voir si
je vais utiliser ou non l'orthogonalité de u )

[arnaud32]

pour deux vp a et b
si x est dans Ea et y dans Eb
=
donc (ab*-1)=0 ....

[bentaarito]

et si a=2 et b=1/2 ?? ab*=1 .... :hum:
(ce résultat est faux pour un u quelconque?? )

[arnaud32]

u est orthogonal donc se vp sont de module 1

[bentaarito]

ok.
mais la question est guidée; il faut qu j'utilise la décomposition x=y+z .
(tu m'as toujours pas répondu à ma question pour un u quelconque)

[arnaud32]

c'est en effet faux pour u qq
maintenat quand u est orthogonal si aest different de b ab* est different de 1 (sinon (ab*)b=b ie a(bb*)=b ie a|b|²=b et a=b)
doncomme tu as (ab*-1)=0 , finalement =0
donc E_a et E_b sont orthogonaux

[bentaarito]

non j'ai bien compris que ça marchait dès le début ( modulo le fait que tu m'as rappelé que |vp|=1)
mais le problème c'est que je dois utiliser un certain cheminement dans mon raisonnement ( voir mon premier post) .
D'ailleurs la question d'après est de montrer que les valeurs propres sont toutes de module 1.

[arnaud32]

tu ecris x sous la forme y+z avec y dans E_a et z dans orth(E_a)
tu as 0= < z , y > = < u(z) , u(y) > = < u(z) , ay > = a* < u(z) , y >
donc < u(z) , y > = 0 car a est non nul

pour x=y' tu as by'=u(y')=ay+u(z)
donc (b-a)y=u(z)-bz ...